Найдите длину вектора, образованного отложением векторов cm и dn, равных db и ca, соответственно, в ромбе ABCD

Чтобы найти длину вектора, образованного отложением векторов cm и dn, нужно сначала выразить эти векторы через стороны ромба ABCD и векторы ca и bd.

Задача говорит о том, что вектор cm равен вектору db, а вектор dn равен вектору ca. То есть мы можем записать эти равенства в виде:

\(\overrightarrow{cm} = \overrightarrow{db}\) и \(\overrightarrow{dn} = \overrightarrow{ca}\).

Теперь мы знаем, что вектор cm образуется от точки c до точки m, а вектор db образуется от точки d до точки b. Аналогично, вектор dn образуется от точки d до точки n, а вектор ca образуется от точки c до точки a.

Ромб ABCD имеет свойство, что диагонали пересекаются в их серединах под прямым углом. Поэтому мы можем сказать, что вектор mc (вектор обратный вектору cm) образуется от точки m до точки c и является диагональю ромба. Аналогично, вектор na (вектор обратный вектору ca) образуется от точки n до точки a и также является диагональю ромба.

Так как ромб ABCD является параллелограммом, то диагонали ромба равны по длине. Поэтому мы можем записать:

\(\overrightarrow{mc} = \overrightarrow{na}\)

Теперь, чтобы найти длину вектора, образованного отложением векторов cm и dn, мы можем использовать свойство параллелограмма, которое говорит, что сумма двух векторов, образованных отложением двух диагоналей, равна нулевому вектору.

Мы можем записать это в виде:

\(\overrightarrow{cm} + \overrightarrow{dn} = \overrightarrow{0}\)

Теперь вспомним, что нам известны равенства \(\overrightarrow{cm} = \overrightarrow{db}\) и \(\overrightarrow{dn} = \overrightarrow{ca}\).

Подставим их в уравнение:

\(\overrightarrow{db} + \overrightarrow{ca} = \overrightarrow{0}\)

Теперь мы можем представить векторы db и ca через стороны ромба ABCD.

Обозначим стороны ромба ABCD как a, b, c и d. Тогда мы можем записать:

\(\overrightarrow{db} = -\overrightarrow{ad} = -\overrightarrow{na} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{ac}\)

\(\overrightarrow{ca} = -\overrightarrow{mc} = -\overrightarrow{db} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{bd}\)

Подставим эти равенства в уравнение:

\(-\frac{1}{2}\overrightarrow{bd} - \frac{1}{2}\overrightarrow{bd} = \overrightarrow{0}\)

Сократим коэффициенты:

\(-\overrightarrow{bd} - \overrightarrow{bd} = \overrightarrow{0}\)

Таким образом, мы получаем:

\(\overrightarrow{bd} = -2\overrightarrow{bd}\)

Теперь мы знаем, что вектор bd равен -2 разам вектору bd.

Чтобы найти длину вектора bd, мы можем воспользоваться формулой для вычисления длины вектора:

\(|\overrightarrow{bd}| = \sqrt{(\overrightarrow{bd})^2}\)

Заметим, что \((\overrightarrow{bd})^2 = (-2\overrightarrow{bd})^2\), так как мы умножаем вектор на -2.

Раскроем квадрат и выведем -2 за знак корня:

\(|\overrightarrow{bd}| = |-2||\overrightarrow{bd}| = 2|\overrightarrow{bd}|\)

Таким образом, длина вектора bd равна двум разам длины самого вектора bd.

Таким образом, длина вектора, образованного отложением векторов cm и dn, равна \(2|\overrightarrow{bd}|\).

Подставим значение вектора bd:

\(2|\overrightarrow{bd}| = 2|-\frac{1}{2}\overrightarrow{bd}| = 2 \cdot \frac{1}{2}|\overrightarrow{bd}|\)

Упростим выражение:

\(2 \cdot \frac{1}{2}|\overrightarrow{bd}| = |\overrightarrow{bd}|\)

Таким образом, длина вектора, образованного отложением векторов cm и dn, равна \(|\overrightarrow{bd}|\).

Теперь остается только найти длину вектора bd. Она равна длине стороны ромба ABCD.

Так как задача говорит, что \(|ac| = 6\), то длина вектора ca (или ac) равна 6.

Таким образом, длина вектора bd (или db) равна 6.

Итак, длина вектора, образованного отложением векторов cm и dn, равна \(|\overrightarrow{bd}| = 6\).