У Сергея есть игрушечные солдатики. Если он организует их в группы по два, то у него останется один излишний солдатик

Давайте решим данную задачу поэтапно, чтобы ответ был полностью понятен.

Пусть $x$ - это общее количество солдатиков у Сергея.

Согласно условию задачи, если он организует их в группы по два, то останется один излишний солдатик. Это означает, что общее количество солдатиков $x$ должно быть на 1 больше кратным двум:

$$x\equiv 1\mathrm{mod}2$$

Аналогично, если он организует солдатиков в группы по три, то останется два излишних солдатика. То есть, общее количество солдатиков $x$ должно быть на 2 больше кратным трем:

$$x\equiv 2\mathrm{mod}3$$

Теперь объединим эти два условия для нахождения общего количества солдатиков $x$, которое будет удовлетворять обоим условиям.

Для этого воспользуемся китайской теоремой об остатках. Сначала решим следующую систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}x\equiv 1\mathrm{mod}2\\ x\equiv 2\mathrm{mod}3\end{array}$$

По китайской теореме об остатках можно найти решение следующим образом:

$$x\equiv (1\cdot 3\cdot 3^{-1})+(2\cdot 2\cdot 2^{-1})\mathrm{mod}6$$

где $3^{-1}$ - это обратный элемент для 3 по модулю 2, а $2^{-1}$ - обратный элемент для 2 по модулю 3.

Посчитаем значения обратных элементов:

$$3^{-1}\equiv 3\mathrm{mod}2$$
$$2^{-1}\equiv 2\mathrm{mod}3$$

Теперь подставим значения в формулу:

$$x\equiv (1\cdot 3\cdot 3^{-1})+(2\cdot 2\cdot 2^{-1})\equiv 9+8\equiv 17\mathrm{mod}6$$

Переведем ответ в наименьшую положительную форму:

$$x\equiv 17\equiv 5\mathrm{mod}6$$

Таким образом, получаем, что $x$ должно быть на 5 больше кратным 6:

$$x\equiv 5\mathrm{mod}6$$

Ответом на задачу будет наименьшее положительное целое число $x$, удовлетворяющее условиям. В данном случае, это число равно 5.

Следовательно, если Сергей организует солдатиков в группы по шесть, то останется 5 солдатиков.