У Сергея есть игрушечные солдатики. Если он организует их в группы по два, то у него останется один излишний солдатик

Давайте решим данную задачу поэтапно, чтобы ответ был полностью понятен.

Пусть \(x\) - это общее количество солдатиков у Сергея.

Согласно условию задачи, если он организует их в группы по два, то останется один излишний солдатик. Это означает, что общее количество солдатиков \(x\) должно быть на 1 больше кратным двум:

\[x \equiv 1 \mod 2\]

Аналогично, если он организует солдатиков в группы по три, то останется два излишних солдатика. То есть, общее количество солдатиков \(x\) должно быть на 2 больше кратным трем:

\[x \equiv 2 \mod 3\]

Теперь объединим эти два условия для нахождения общего количества солдатиков \(x\), которое будет удовлетворять обоим условиям.

Для этого воспользуемся китайской теоремой об остатках. Сначала решим следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x \equiv 1 \mod 2 \\
x \equiv 2 \mod 3
\end{cases}
\]

По китайской теореме об остатках можно найти решение следующим образом:

\[x \equiv (1 \cdot 3 \cdot 3^{-1}) + (2 \cdot 2 \cdot 2^{-1}) \mod 6\]

где \(3^{-1}\) - это обратный элемент для 3 по модулю 2, а \(2^{-1}\) - обратный элемент для 2 по модулю 3.

Посчитаем значения обратных элементов:

\[3^{-1} \equiv 3 \mod 2\]
\[2^{-1} \equiv 2 \mod 3\]

Теперь подставим значения в формулу:

\[x \equiv (1 \cdot 3 \cdot 3^{-1}) + (2 \cdot 2 \cdot 2^{-1}) \equiv 9 + 8 \equiv 17 \mod 6\]

Переведем ответ в наименьшую положительную форму:

\[x \equiv 17 \equiv 5 \mod 6\]

Таким образом, получаем, что \(x\) должно быть на 5 больше кратным 6:

\[x \equiv 5 \mod 6\]

Ответом на задачу будет наименьшее положительное целое число \(x\), удовлетворяющее условиям. В данном случае, это число равно 5.

Следовательно, если Сергей организует солдатиков в группы по шесть, то останется 5 солдатиков.