у пирамиды высотой 8 см, площадью поверхности 64 см^2 и объемом 256 см^3, проведена плоскость параллельная основанию

Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойства пирамиды и формулы для нахождения ее площади поверхности и объема.

1. Площадь поверхности пирамиды:
У нас уже дана площадь поверхности \(S = 64 \, \text{см}^2\). Чтобы найти площадь поверхности полученной пирамиды, мы должны вычесть площадь секции, образованную плоскостью, от общей площади поверхности исходной пирамиды.

Площадь секции можно найти как произведение длины секции (расстояние от вершины до плоскости) на периметр основания. Поскольку пирамида имеет равностороннее основание, периметр можно найти, умножив длину одной стороны основания на количество сторон (в нашем случае, 3, так как это треугольное основание).

Таким образом, площадь секции равна \(2 \, \text{см} \cdot 3 \cdot a\), где \(a\) - длина стороны основания.

Из площади поверхности \(S\) мы должны вычесть площадь секции, поэтому площадь поверхности полученной пирамиды равна:

\[S_{\text{пир}} = S - (2 \cdot 3 \cdot a)\]

2. Объем пирамиды:
У нас уже дан объем пирамиды \(V = 256 \, \text{см}^3\). Чтобы найти объем полученной пирамиды, мы должны вычесть объем секции от общего объема пирамиды.

Объем секции можно найти как произведение площади основания на ее высоту. Так как основание секции - треугольник, с длиной стороны \(a\), площадь основания равна \(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\). Высоту секции мы уже знаем - это расстояние от плоскости до вершины пирамиды, то есть 2 см.

Таким образом, объем секции равен \(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot 2\).

Из общего объема \(V\) мы должны вычесть объем секции, получая объем полученной пирамиды:

\[V_{\text{пир}} = V - \left(\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot 2\right)\]

Теперь мы можем решить задачу, найдя значения площади поверхности и объема полученной пирамиды, используя известные значения.

Допустим, длина стороны основания \(a\) равна \(x\) см.

Тогда площадь поверхности полученной пирамиды будет:

\[S_{\text{пир}} = 64 - (2 \cdot 3 \cdot x)\]

Объем полученной пирамиды будет:

\[V_{\text{пир}} = 256 - \left(\frac{x^2 \sqrt{3}}{4} \cdot 2\right)\]

Теперь можно выразить ответы, используя значения \(S_{\text{пир}}\) и \(V_{\text{пир}}\) в зависимости от \(x\).