У пирамиды SABCD основание является прямоугольником. Мы провели плоскость α через точку пересечения диагоналей

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство перпендикулярных плоскостей, а именно то, что перпендикуляр к перпендикуляру является плоскостью параллельной исходной плоскости.

Плоскость α перпендикулярна ребру SA, следовательно, она параллельна плоскости основания SABCD.

Обозначим стороны прямоугольника основания прямоугольной пирамиды следующим образом: AB – основание пирамиды, AD = BC = a – стороны прямоугольника.

Так как N – середина диагонали AD, то AD = 2 * AN. Учитывая, что AN = 2√2, получим AD = 4√2.

Также известно, что высота пирамиды SABCD равна 11.

Мы знаем, что расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:

\[d = \frac{{Ax + By + Cz + D}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

где (x, y, z) – координаты заданной точки, а A, B, C, D – коэффициенты уравнения плоскости.

Поскольку плоскость α перпендикулярна ребру SA, её нормальный вектор равен (0, A, B), где A и B – координаты вектора параллельного прямой SA и лежащего в плоскости α.

Так как плоскость проходит через точку N, координаты которой равны (0, 4√2, 0), уравнение плоскости α имеет вид:

\[4√2 \cdot A + 0 \cdot B + 0 \cdot C + D = 0\]

Также нам известно, что плоскость проходит через точку A(0, 0, 0), поэтому достаточно найти значение D.

Подставим координаты точки A в уравнение плоскости:

\[4√2 \cdot A + 0 \cdot B + 0 \cdot C + D = 0\]

\[4√2 \cdot 0 + 0 \cdot B + 0 \cdot C + D = 0\]

\[D = 0\]

Таким образом, итоговое уравнение плоскости α:

\[4√2 \cdot A = 0\]

Расстояние от точки N до плоскости α будет равно:

\[d = \frac{{0 \cdot 0 + A \cdot 4√2 + 0 \cdot 0 + 0}}{{\sqrt{{0^2 + A^2}}}} = \frac{{4√2A}}{{\sqrt{{A^2}}}} = 4√2\]

Таким образом, расстояние от точки N до плоскости α равно 4√2.