У банка есть пять филиалов. Каждый филиал ежедневно с вероятностью 0,3 может заказать крупную сумму денег на следующий

Давайте посмотрим на каждое событие по отдельности и найдем вероятность каждого из них.

а) Событие "ровно две заявки поступили".

Вероятность поступления заявки от каждого филиала в отдельности равна 0,3. Для нашего случая нам нужно рассмотреть два филиала, от которых поступили заявки, и три оставшихся филиала, от которых заявок не поступило. Вероятность того, что именно два филиала из пяти сделают заявки, можно рассчитать с помощью биномиального распределения сочетаний:

\[
P(\text{{ровно две заявки поступили}}) = C_2^5 \cdot (0,3)^2 \cdot (0,7)^3
\]

где \(C_2^5\) - это число сочетаний из пяти элементов, по два из которых надо выбрать.

б) Событие "поступила хотя бы одна заявка".

Чтобы найти вероятность появления хотя бы одной заявки, мы должны учесть все возможные комбинации событий: 1 заявка, 2 заявки, 3 заявки, 4 заявки и 5 заявок. Затем мы сложим эти вероятности, чтобы получить общую вероятность.

\[
P(\text{{поступила хотя бы одна заявка}}) = 1 - P(\text{{нет заявок}})
\]

где

\[
P(\text{{нет заявок}}) = (0,7)^5
\]

в) Событие "среди поступивших двух заявок есть заявка от первого филиала".

Чтобы найти вероятность этого события, мы должны рассмотреть две ситуации: когда первый филиал отправил заявку и когда первый филиал не отправил заявку, но другие два филиала отправили заявки.

\[
P(\text{{среди поступивших двух заявок есть заявка от первого филиала}}) = P(\text{{1 заявка от первого филиала}}) + P(\text{{2 заявки от других филиалов, но нет заявок от первого филиала}})
\]

\[
P(\text{{1 заявка от первого филиала}}) = P(\text{{поступила хотя бы одна заявка}}) \cdot P(\text{{заявка от первого филиала}})
\]

\[
P(\text{{2 заявки от других филиалов, но нет заявок от первого филиала}}) = P(\text{{ровно две заявки поступили}}) - P(\text{{1 заявка от первого филиала}})
\]

Теперь давайте подставим значения и посчитаем.

а) Вероятность ровно двух заявок поступили:

\[
P(\text{{ровно две заявки поступили}}) = C_2^5 \cdot (0,3)^2 \cdot (0,7)^3 \approx 0,3087
\]

б) Вероятность поступила хотя бы одна заявка:

\[
P(\text{{поступила хотя бы одна заявка}}) = 1 - P(\text{{нет заявок}}) = 1 - (0,7)^5 \approx 0,8319
\]

в) Вероятность среди поступивших двух заявок есть заявка от первого филиала:

\[
P(\text{{среди поступивших двух заявок есть заявка от первого филиала}}) = P(\text{{1 заявка от первого филиала}}) + P(\text{{2 заявки от других филиалов, но нет заявок от первого филиала}})
\]

\[
P(\text{{1 заявка от первого филиала}}) = P(\text{{поступила хотя бы одна заявка}}) \cdot P(\text{{заявка от первого филиала}}) \approx 0,8319 \cdot 0,3 \approx 0,2496
\]

\[
P(\text{{2 заявки от других филиалов, но нет заявок от первого филиала}}) = P(\text{{ровно две заявки поступили}}) - P(\text{{1 заявка от первого филиала}}) \approx 0,3087 - 0,2496 \approx 0,0591
\]

\[
P(\text{{среди поступивших двух заявок есть заявка от первого филиала}}) \approx 0,2496 + 0,0591 \approx 0,3087
\]

Таким образом, вероятности событий равны:
а) \(0,3087\)
б) \(0,8319\)
в) \(0,3087\)