У Андрея есть два различных натуральных числа, и он записал их сумму на одной из карточек, а удвоенное меньшее число

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Пусть первое число, записанное на карточке, равно \(a\), а второе число, записанное на карточке, равно \(b\), где \(a\) и \(b\) - различные натуральные числа.

Условия задачи говорят, что Андрей записал сумму этих чисел на одной карточке, а удвоенное меньшее число на другой. Также Боря и Витя не знают, какие именно числа находятся на их карточках.

Пусть карточка с суммой чисел оказалась у Бори, а карточка с удвоенным меньшим числом - у Вити. Тогда Боря не знает, какие числа записаны на его карточке. Но это может быть только в одном случае: если \(a\) и \(b\) равны.

Посмотрим на возможные варианты:

1) Если \(a = b\), то сумма чисел, записанная на карточке Бори, будет \(2a\), а удвоенное меньшее число на карточке Вити будет равно \(2a\) также. В этом случае Боря не сможет однозначно определить, какое именно число на его карточке, так как возможны два варианта: \(2a\) или \(2b\). Следовательно, этот вариант нам не подходит.

2) Если \(a > b\), то сумма чисел, записанная на карточке Бори, будет \(a + b\), а удвоенное меньшее число на карточке Вити будет \(2b\). В этом случае Витя знает, что \(2b\) никак не может быть равно \(a + b\), так как число \(2b\) всегда будет меньше, чем \(a + b\). Поэтому Витя понимает, что на его карточке записана сумма чисел, а не удвоенное меньшее число. Значит, этот вариант тоже нам не подходит.

3) Остается только случай \(a < b\). В этом случае сумма чисел, записанная на карточке Бори, будет \(a + b\), а удвоенное меньшее число на карточке Вити будет \(2a\). После услышанных ответов Боря говорит, что теперь знает, какая карточка у него. Из этого можно сделать вывод, что \(a + b\) не может быть равно \(2a\), так как если бы так было, то Боря бы не смог однозначно определить свою карточку. Значит, на карточке Бори записана сумма чисел, а на карточке Вити - удвоенное меньшее число.

Итак, в данной задаче карточка с суммой чисел оказалась у Бори.