Три окружности одинакового радиуса касаются друг друга снаружи и касаются внутренним образом окружности радиусом

Давайте рассмотрим данную задачу пошагово.

Шаг 1: Обозначение переменных
Пусть радиус трех окружностей одинаков и равен \( r \).
Радиус внутренней окружности равен \( R \).
Пусть длины дуг этих окружностей, ограничивающих закрашенную область, будут обозначены как \( L_1 \), \( L_2 \) и \( L_3 \).

Шаг 2: Определение связей между радиусами
Для начала, заметим, что окружности должны быть взаимно касающимися. Таким образом, каждая из внешних окружностей будет касаться двух других окружностей и внутренней окружности. В результате, возникает прямоугольный треугольник, образованный радиусами окружностей. Радиусы окружностей являются катетами треугольника, а их сумма равна гипотенузе - радиусу внутренней окружности. Следовательно, мы можем записать следующее уравнение:

\[ r + r = R \]
\[ 2r = R \]

Шаг 3: Нахождение радиусов окружностей
Исходя из уравнения, получаем:
\[ r = \frac{R}{2} \]

Таким образом, радиус каждой из внешних окружностей равен половине радиуса внутренней окружности: \( \frac{R}{2} \).

Шаг 4: Нахождение длин дуг
Для нахождения длин дуг, ограничивающих закрашенную область, нам понадобится знание формулы длины дуги окружности.
Формула длины дуги окружности выглядит следующим образом:

\[ L = 2\pi r \]

Для каждой из внешних окружностей, радиус которых равен \( \frac{R}{2} \), мы можем найти длину дуги.
То есть:

\[ L_1 = 2\pi \cdot \frac{R}{2} = \pi R \]
\[ L_2 = 2\pi \cdot \frac{R}{2} = \pi R \]
\[ L_3 = 2\pi \cdot \frac{R}{2} = \pi R \]

Шаг 5: Нахождение суммы длин дуг
Для нахождения суммы длин дуг, ограничивающих закрашенную область, мы просто складываем их:
\[ L_{\text{сумма}} = L_1 + L_2 + L_3 = \pi R + \pi R + \pi R = 3\pi R \]

Итак, ответ на задачу:
а) Радиус каждой из внешних окружностей равен \( \frac{R}{2} \).
б) Сумма длин дуг, ограничивающих закрашенную область, равна \( 3\pi R \).

Надеюсь, этот ответ был полезен и понятен для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь и задавайте их!