Точки А и В находятся по одной стороне от плоскости Альфа. А1 и В1 - проекции точек А и В соответственно на плоскость

Для решения задачи, нам понадобится использовать свойство средней линии треугольника.

Согласно свойству средней линии, средняя линия треугольника параллельна основанию треугольника и равна половине его длины.

По условию задачи, точка О является серединой отрезка ВВ1, значит длина отрезка ОВ должна быть равна половине длины ВВ1. Так как ВВ1 = 4 см, то ОВ = 2 см.

Также, согласно свойству средней линии, длина средней линии треугольника равна половине суммы длин его оснований. В нашем случае, основаниями треугольника являются отрезки АА1 и ВВ1.

Если мы знаем длину острого угла в треугольнике и длины трех его сторон, мы можем найти длины других сторон с помощью теоремы Пифагора.

В треугольнике АА1О, известными нам сторонами являются АА1, ОВ и АО. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны АО.

По формуле теоремы Пифагора: \(АА1^2 = ОВ^2 + АО^2\), подставляем известные значения: \(8^2 = 2^2 + АО^2\).

Вычисляем: \(64 - 4 = АО^2\), \(60 = АО^2\), берем корень из обеих сторон: \(\sqrt{60} = АО\).

Таким образом, длина стороны АО равна \(\sqrt{60}\) см.

Для нахождения длины отрезка А1С, нам понадобится знание о том, что треугольник А1В1С является подобным треугольнику АА1О.

Поскольку АВ1 и АС являются парапеллельными прямыми, и их пересечение образует точку А1, угол АА1О и угол В1А1С являются соответственными углами, а значит, они равны.

Таким образом, в подобных треугольниках соотношение длин сторон будет одинаковым.

Мы знаем длину стороны АА1 (8 см) и ОВ (2 см). Для нахождения длины стороны А1С, мы можем использовать пропорцию: \(\frac{АА1}{АО} = \frac{А1С}{А1В1}\).

Подставляем известные значения: \(\frac{8}{\sqrt{60}} = \frac{A1C}{4}\).

Перемножаем значения: \(4 \cdot 8 = \sqrt{60} \cdot A1C\).

Вычисляем: \(32 = \sqrt{60} \cdot A1C\).

Делим обе стороны на \(\sqrt{60}\): \(\frac{32}{\sqrt{60}} = A1C\).

Таким образом, длина отрезка A1C равна \(\frac{32}{\sqrt{60}}\) см.

Вот и решение задачи. Я постарался предоставить вам максимально подробный ответ с пояснениями каждого шага решения. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.