Можно ли утверждать, что ломаная, образованная последовательным проведением параллельных прямых через произвольную

Да, ломаная, образованная таким образом, будет замкнутой.

Для доказательства этого факта рассмотрим треугольник ABC, где точка a находится на стороне BC, а точка b - на стороне AC. Пусть угол BAC равен α.

Построим последовательность прямых, проходящих через точку a, параллельно стороне AB. Перпендикуляр, проведенный из точки a на сторону BC, пересекает её в точке D.

Таким образом, мы получили левую часть ломаной. Чтобы построить остальные отрезки ломаной, проведем прямые через точку a, параллельные сторонам AC и BC. Пусть эти прямые пересекают стороны AC и BC в точках E и F соответственно.

Теперь давайте рассмотрим получившуюся фигуру. Мы имеем ломаную ад, состоящую из отрезков AD, AE, и AF, а также отрезка DB.

Обратите внимание, что в данной фигуре все углы нашего треугольника ABC остаются неизменными. Угол BAC равен α, угол ACB равен 180° - α, и угол ABC равен 180° - α.

Рассмотрим угол FAE. Он является вертикальным углом для угла ABC, поэтому он также равен 180° - α.

Теперь обратимся к углу ADF. Этот угол является вертикальным углом для угла ACB, поэтому он также равен 180° - α.

Таким образом, мы видим, что углы FAE и ADF равны. Значит, отрезки AE и AD образуют прямую линию.

Аналогичным образом можно показать, что отрезки AF и DB также образуют прямую линию.

Таким образом, ломаная, образованная последовательным проведением параллельных прямых через произвольную точку a на стороне треугольника и пересечением с третьей стороной в точке b, является замкнутой. Каждый отрезок ломаной является прямой линией, и они образуют замкнутую фигуру.