Треугольник АВС является равносторонним, MN - это линия, которая делит сторону АС пополам, и ее длина равна

Хорошо, начнем с рисунка.

Для начала нарисуем равносторонний треугольник АВС. Посмотрим:

\[
\begin{array}{ccccccccccccccc}
& & & & & & & & A & & & & & & \\
& & & & & & & / & & \backslash & & & & & \\
& & & & & & / & & & & \backslash & & & & \\
& & & & & / & & & & & & \backslash & & & \\
& & & & M & & & & & & & B & & & \\
& & & \backslash & & & & & & & & & \backslash & & \\
& & C & & & & & & & & & & & N &
\end{array}
\]

Теперь перейдем к вычислению скалярного произведения векторов \(MN\) и \(MB\).

Векторное представление вектора \(MN\) можно записать как:

\[
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{CN} - \overrightarrow{CM}
\]

Вектор \(\overrightarrow{CN}\) можно представить как \(\frac{1}{2}\) вектора \(\overrightarrow{CA}\), так как точка \(N\) находится на половине стороны \(AC\). Таким образом, \(\overrightarrow{CN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CA}\).

Подставляя это значение в формулу, получаем:

\[
\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CM}
\]

Теперь рассмотрим вектор \(\overrightarrow{MB}\). Вектор \(\overrightarrow{MB}\) является диагональю равностороннего треугольника, поэтому его длина равна длине стороны \(AB\). Пусть длина стороны равна \(d\). Тогда длина вектора \(\overrightarrow{MB}\) равна \(d\).

Теперь мы можем выполнять вычисления:

\[
\begin{align*}
\overrightarrow{MN} & = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CM} \\
& = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{CB} \\
& = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} \\
& = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA}) \\
& = \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}
\end{align*}
\]

Таким образом, мы получаем, что \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}\).

Теперь посчитаем скалярное произведение векторов \(MN\) и \(MB\):

\[
\begin{align*}
\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MB} & = \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}\right) \cdot \overrightarrow{MB} \\
& = \frac{1}{2}\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{MB} \\
& = \frac{1}{2}(|\overrightarrow{CB}| |\overrightarrow{MB}| \cos(\theta))
\end{align*}
\]

Где \(|\overrightarrow{CB}|\) и \(|\overrightarrow{MB}|\) - длины векторов, а \(\theta\) - угол между ними.

Так как треугольник АВС равносторонний, то угол \(\theta\) равен \(60^\circ\), а длина стороны \(AB\) равна \(d\).

Подставим значения:

\[
\begin{align*}
\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MB} & = \frac{1}{2}(|\overrightarrow{CB}| |\overrightarrow{MB}| \cos(60^\circ)) \\
& = \frac{1}{2}(d \cdot d \cdot \cos(60^\circ)) \\
& = \frac{1}{2}(d^2 \cdot \frac{1}{2}) \\
& = \frac{d^2}{4}
\end{align*}
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(MN\) и \(MB\) равно \(\frac{d^2}{4}\).

Надеюсь, что этот ответ был понятен.