Найдите длину касательной AD к окружности, если известно, что AC на 6 меньше AD, и AD больше заданной величины

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Предположим, что окружность имеет центр O, а точки A, C и D находятся на этой окружности. Длина отрезка AD больше заданной величины, а AC на 6 меньше AD.

Шаг 1: Предположим, что заданная величина равна х. Тогда длина отрезка AC равна 6 меньше заданной величины, то есть (х - 6).

Шаг 2: Так как AC и AD являются касательными извне к окружности и проведены из одной точки, то они равны по длине. Поэтому длина отрезка AC также равна длине отрезка AD.

Шаг 3: Теперь мы имеем два равных отрезка AD и AC, которые являются катетами прямоугольного треугольника AOC, так как эти отрезки касаются окружности в одной точке.

Шаг 4: С помощью теоремы Пифагора найдем длину гипотенузы треугольника AOC. Обозначим ее через х. Тогда по теореме Пифагора имеем:

\[AC^2 + OC^2 = AO^2\]

Поскольку AC и AD равны, заменим AC на AD:

\[AD^2 + OC^2 = AO^2\]

Шаг 5: Так как AC на 6 меньше AD, заменим AC на (AD-6):

\[(AD-6)^2 + OC^2 = AO^2\]

Шаг 6: Раскроем квадрат на левой стороне уравнения:

\[AD^2 - 12AD + 36 + OC^2 = AO^2\]

Шаг 7: Заметим, что OC - это радиус окружности, обозначим его через r:

\[AD^2 - 12AD + 36 + r^2 = AO^2\]

Шаг 8: Поскольку AD и AO - это радиусы окружности с центром O, они равны по длине. Заменим AD на AO:

\[AO^2 - 12AO + 36 + r^2 = AO^2\]

Шаг 9: Упростим уравнение, сократив AO^2:

\[-12AO + 36 + r^2 = 0\]

Шаг 10: Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно AO. Решим его, применив метод дискриминанта:

Дискриминант (D) квадратного уравнения вида \(Ax^2 + Bx + C = 0\) вычисляется по формуле: \(D = B^2 - 4AC\)

В нашем случае A = -12, B = 0 и C = 36. Подставим эти значения в формулу:

\[D = 0^2 - 4 \cdot (-12) \cdot 36 = 0 - (-1728) = 1728\]

Шаг 11: Дискриминант D равен 1728, что больше нуля. Это означает, что у уравнения есть два различных вещественных корня.

Шаг 12: Используя формулу корней квадратного уравнения, найдем AO:

\[AO = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}\]

Подставим значения B = 0, A = -12 и D = 1728 в формулу:

\[AO = \frac{-0 \pm \sqrt{1728}}{2 \cdot (-12)}\]

\[AO = \frac{\pm 24\sqrt{3}}{-24}\]

Шаг 13: Упростим выражение:

\[AO = \pm \sqrt{3}\]

Шаг 14: Ответом на задачу является длина касательной AD к окружности, которая равна AO. Мы получили два значения для AO: \(AO = \sqrt{3}\) и \(AO = -\sqrt{3}\).

Однако, длина не может быть отрицательной, поэтому мы выбираем положительное значение \(AO = \sqrt{3}\).

Таким образом, длина касательной AD равна \(\sqrt{3}\) метра.