Треугольник ABC дан. Биссектриса угла BAC пересекает серединный перпендикуляр к стороне AB в точке K, которая находится

AB равна 12.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника. Известно, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

Пусть длина отрезка AC равна x, а длина отрезка BC равна y.

Поскольку биссектриса угла BAC делит сторону BC пополам, то BK = KC = y/2.

Также помним, что угол между биссектрисой и серединным перпендикуляром равен 30°. Это означает, что треугольник BKC является прямоугольным при вершине K.

Теперь применим теорему синусов к треугольнику BAC, чтобы выразить длину отрезка AC через длины сторон треугольника:

\[\frac{AC}{\sin \angle BAC} = \frac{AB}{\sin \angle ABC} = \frac{BC}{\sin \angle BCA}\]

Поскольку треугольник BKC прямоугольный, \(\angle BCA = 90°\) и \(\sin \angle BCA = 1\):

\[\frac{AC}{\sin 30°} = \frac{12}{\sin \angle ABC}\]

Разделим обе части уравнения на \(\sin 30° = \frac{1}{2}\):

\[2AC = \frac{12}{\sin \angle ABC}\]

Теперь нам нужно найти значение \(\sin \angle ABC\). Для этого воспользуемся теоремой синусов в треугольнике BKC:

\[\frac{KC}{\sin \angle BCK} = \frac{BC}{\sin \angle BKC}\]

Поскольку треугольник BKC прямоугольный, \(\angle BKC = 90°\) и \(\sin \angle BKC = 1\). Тогда:

\[\frac{y/2}{\sin \angle BCK} = \frac{9}{1}\]

Упростим выражение, умножив обе части уравнения на \(\sin \angle BCK\):

\[y/2 = 9 \cdot \sin \angle BCK\]

Теперь вспомним, что треугольник BKC - прямоугольный, и угол \(\angle BCK\) является дополнительным к углу \(\angle ABC\):

\(\angle BCK = 180° - \angle ABC\)

Заменим это выражение в предыдущем уравнении:

\[y/2 = 9 \cdot \sin (180° - \angle ABC)\]

Упростим выражение, учитывая, что \(\sin (180° - \alpha) = \sin \alpha\):

\[y/2 = 9 \cdot \sin \angle ABC\]

Таким образом, мы нашли значение \(\sin \angle ABC\):

\[\sin \angle ABC = \frac{y}{18}\]

Теперь подставим это значение в уравнение для длины AC:

\[2AC = \frac{12}{\sin \angle ABC}\]

\[2AC = \frac{12}{\frac{y}{18}}\]

\[2AC = \frac{216}{y}\]

Делаем замену \(AC = x\) и \(BC = y\):

\[2x = \frac{216}{y}\]

Теперь нам осталось найти значение длины AC:

\[x = \frac{216}{2y}\]

\[x = \frac{108}{y}\]

Мы получили выражение для длины AC через длину стороны BC. Теперь подставим известные значения длины ВС равной 9 и длины AB равной 12 в это выражение:

\[x = \frac{108}{9}\]

\[x = 12\]

Таким образом, длина AC равна 12.