Требуется определить, является ли последовательность, заданная формулой n-го числа как bn=2^1+n * 5^1-n, бесконечно

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей.

В данной задаче требуется определить, является ли последовательность, заданная формулой \(b_n = 2^{1+n} \times 5^{1-n}\), бесконечно убывающей прогрессией.

Для начала, давайте найдем несколько членов последовательности, чтобы увидеть ее общий вид. Для этого подставим значения \(n = 1, 2, 3, \ldots\) в формулу и найдем соответствующие члены последовательности \(b_n\).

Когда \(n = 1\), формула принимает следующий вид:
\[b_1 = 2^{1+1} \times 5^{1-1} = 2^2 \times 5^0 = 4 \times 1 = 4.\]

Когда \(n = 2\), формула принимает следующий вид:
\[b_2 = 2^{1+2} \times 5^{1-2} = 2^3 \times 5^{-1} = 8 \times \frac{1}{5} = \frac{8}{5}.\]

Когда \(n = 3\), формула принимает следующий вид:
\[b_3 = 2^{1+3} \times 5^{1-3} = 2^4 \times 5^{-2} = 16 \times \frac{1}{25} = \frac{16}{25}.\]

И так далее.

Теперь давайте рассмотрим отношение между соседними членами последовательности:
\[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{1+(n+1)} \times 5^{1-(n+1)}}{2^{1+n} \times 5^{1-n}} = \frac{2^{2+n} \times 5^{-n}}{2^{1+n} \times 5^{1-n}}.\]

Дальше проведем сокращение и преобразуем эту дробь:
\[\frac{2^{2+n} \times 5^{-n}}{2^{1+n} \times 5^{1-n}} = \frac{2^{2+n}}{2^{1+n}} \times \frac{5^{-n}}{5^{1-n}} = 2^{(2+n)-(1+n)} \times 5^{-n-(1-n)} = \frac{2^1}{5} = \frac{2}{5}.\]

Мы видим, что отношение между любыми двумя соседними членами последовательности равно постоянному значению \(\frac{2}{5}\). Таким образом, мы можем сделать вывод, что данная последовательность является геометрической прогрессией с знаменателем \(\frac{2}{5}\).

Теперь, чтобы определить, является ли эта последовательность бесконечно убывающей, мы должны проверить, что знаменатель \(\frac{2}{5}\) находится в интервале \((-1, 0)\).

Так как \(\frac{2}{5}\) не находится в этом интервале, мы можем заключить, что последовательность \(b_n\) не является бесконечно убывающей прогрессией.

Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас возникли дополнительные вопросы!