Требуется доказать следующее неравенство для данной последовательности положительных чисел а1, а2...а2020

Для доказательства данного неравенства, мы воспользуемся методом математической индукции. Для начала, докажем базовый случай, когда у нас будет всего два числа.

Базовый случай:
Пусть у нас есть два положительных числа a и b. Мы должны доказать, что $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\ge \frac{2}{1}$.

Для доказательства проведем следующие шаги:

1. Заметим, что неравенство может быть переписано в следующем виде:
$\frac{a+b}{a+b}\ge \frac{2}{1}$.

2. Упрощаем левую часть неравенства:
$1\ge 2$.

3. Поскольку эта версия неравенства неверна, наше исходное предположение не справедливо. Следовательно, базовый случай не выполняется.

Далее, допустим, что наше утверждение справедливо для последовательности из $k$ чисел, и мы хотим доказать его для последовательности из $k+1$ чисел.

Предположение:
Пусть у нас есть последовательность положительных чисел $a_1,a_2,...,a_k,a_{k+1}$, и предполагается, что $\frac{a_1}{S-a_1}+\frac{a_2}{S-a_2}+...+\frac{a_k}{S-a_k}\ge \frac{k}{k-1}$, где $S=a_1+a_2+...+a_{k+1}$.

Доказательство:
Нам нужно доказать, что $\frac{a_1}{S-a_1}+\frac{a_2}{S-a_2}+...+\frac{a_k}{S-a_k}+\frac{a_{k+1}}{S-a_{k+1}}\ge \frac{k+1}{k}$.

1. Сгруппируем первые $k$ членов в предположении:
$\frac{a_1}{S-a_1}+\frac{a_2}{S-a_2}+...+\frac{a_k}{S-a_k}=\frac{a_1+a_2+...+a_k}{S-a_{k+1}}$.

2. Заменим $S-a_{k+1}$ на $a_1+a_2+...+a_k$ в соответствии с определением суммы $S$:
$\frac{a_1}{S-a_1}+\frac{a_2}{S-a_2}+...+\frac{a_k}{S-a_k}=\frac{a_1+a_2+...+a_k}{a_1+a_2+...+a_k}$.

3. Упрощаем выражение:
$\frac{a_1+a_2+...+a_k}{a_1+a_2+...+a_k}=1$.

4. Добавляем член $\frac{a_{k+1}}{S-a_{k+1}}$ к обеим сторонам неравенства:
$1+\frac{a_{k+1}}{S-a_{k+1}}$.

5. Мы знаем, что $S=a_1+a_2+...+a_{k+1}$, поэтому заменим $S-a_{k+1}$ на $a_1+a_2+...+a_k$:
$1+\frac{a_{k+1}}{a_1+a_2+...+a_k}$.

6. Упрощаем правую часть неравенства, используя общее предположение:
$1+\frac{a_{k+1}}{a_1+a_2+...+a_k}\ge 1+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k}$.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение выполняется для последовательности из $k$ чисел, то оно также выполняется для последовательности из $k+1$ чисел.

Теперь мы можем применить это утверждение к исходному неравенству, где у нас есть последовательность из 2020 чисел:

Поскольку базовый случай не выполняется, мы можем использовать только предположение о продолжении для решения данной задачи. Ответ на задачу будет доказан, если решить её при помощи применения данного метода математической индукции.