Требуется доказать, что ad = се, учитывая следующее: ab = bc, dm перпендикулярна ac, en перпендикулярна ac, am

Для доказательства равенства $ad=ce$ мы можем воспользоваться свойствами перпендикулярных прямых и равенства $ab=bc$.

Из условия мы знаем, что отрезок $ab$ равен отрезку $bc$. Значит, мы можем записать это равенство в виде:

$$ab=bc(1)$$

Также, по условию, мы имеем, что отрезок $dm$ перпендикулярен отрезку $ac$, и отрезок $en$ также перпендикулярен отрезку $ac$. Таким образом, отрезки $dm$ и $en$ являются высотами треугольника $amc$.

Заметим, что если мы возьмем площадь треугольника $amc$, то она будет одинакова, независимо от того, какую высоту выберем.

Пусть $S_1$ - площадь треугольника $amc$ с высотой $dm$, а $S_2$ - площадь треугольника $amc$ с высотой $en$.

Мы можем записать формулу для вычисления площади треугольника через основание и высоту:

$$S_1=\frac{1}{2}\cdot am\cdot dm(2)$$
$$S_2=\frac{1}{2}\cdot am\cdot en(3)$$

Так как треугольник $amc$ одинаковый в обоих случаях, то площади $S_1$ и $S_2$ должны быть равны:

$$S_1=S_2$$

Подставляя формулы для площадей из (2) и (3), получим:

$$\frac{1}{2}\cdot am\cdot dm=\frac{1}{2}\cdot am\cdot en$$

Упрощая выражение, получим:

$$am\cdot dm=am\cdot en$$

Учитывая, что $am$ - общее значение, можно сократить его с обеих сторон:

$$dm=en$$

Теперь обратим внимание на треугольники $ade$ и $ced$. Из условия мы знаем, что $dm$ перпендикулярен отрезку $ac$, а значит, является высотой в треугольнике $ade$. Аналогично, мы можем сказать, что $en$ является высотой в треугольнике $ced$.

Теперь, когда мы имеем два треугольника с равными высотами, мы можем сказать, что их основания $ad$ и $ce$ также равны:

$$ad=ce$$

Таким образом, мы доказали равенство $ad=ce$ на основании предоставленных условий и свойств перпендикулярных прямых и равности сторон треугольников.