Точка C знаходиться в межах відрізка AB. Через точку A почергово проведено площину, а через точки B і C - паралельні

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами подобных треугольников и пропорциональности.

Представим треугольник ABC, где точка C лежит на отрезке AB. Также, пусть отрезок CC1 образует прямоугольный треугольник BCC1.

Из условия задачи известно, что отношение AC к BC равно 2 к 9, то есть AC:BC = 2:9.

Так как прямые BB1 и CC1 параллельны, то уголы BCC1 и CAC1 также будут соответственными.

Теперь применим свойства подобных треугольников. Поскольку углы BCC1 и CAC1 являются соответственными углами, то треугольники BCC1 и CAC1 подобны.

Получаем пропорцию по длинам сторон треугольников:

\(\frac{CC_1}{AC} = \frac{BC_1}{BC}\)

Так как отношение AC к BC равно 2 к 9, то можно заменить BC_1 в пропорции:

\(\frac{CC_1}{AC} = \frac{BC_1}{9 \cdot AC}\)

Теперь нужно найти BC_1. Для этого воспользуемся теоремой Фалеса, которая говорит о том, что если в треугольнике провести линию, параллельную одной из его сторон, то она будет разбивать две другие стороны пропорционально. Таким образом:

\(\frac{BC_1}{BC} = \frac{BB_1}{BA}\)

Так как BB1 параллельна AC, то известно, что:

\(\frac{BB_1}{BA} = \frac{BC}{AC}\)

Также известно, что отношение AC к BC равно 2 к 9. Подставив эти значения в пропорцию, получим:

\(\frac{BC_1}{BC} = \frac{9}{2}\)

Теперь мы можем выразить BC_1 через BC:

\(BC_1 = \frac{9}{2} \cdot BC\)

Обратимся снова к пропорции, которую мы получили выше:

\(\frac{CC_1}{AC} = \frac{BC_1}{9 \cdot AC}\)

Подставив выражение для BC_1, получим:

\(\frac{CC_1}{AC} = \frac{\frac{9}{2} \cdot BC}{9 \cdot AC}\)

Упростим выражение, сократив на 9 и BC:

\(\frac{CC_1}{AC} = \frac{\frac{9}{2}}{9}\)

\(\frac{CC_1}{AC} = \frac{1}{2}\)

Теперь мы можем выразить CC1 через AC:

\(CC_1 = \frac{AC}{2}\)

Осталось только найти AC. Для этого воспользуемся тем, что отношение AC к BC равно 2 к 9.

Предположим, что AC равно 2x, а BC равно 9x, где x - некоторая константа.

Тогда сумма AC и BC равна:

AC + BC = 2x + 9x = 11x

Из условия задачи известно, что точка C находится внутри отрезка AB. Значит, сумма AC и BC должна равняться длине отрезка AB.

Получаем, что 11x = AB

Теперь мы можем выразить x через длину отрезка AB, деля обе части равенства на 11:

x = \(\frac{AB}{11}\)

Таким образом, мы выразили x через длину отрезка AB.

Теперь можем выразить AC:

AC = 2x = 2 \(\cdot\) \(\frac{AB}{11}\)

Теперь, зная AC, можем найти CC1:

CC1 = \(\frac{AC}{2} = \frac{2 \cdot \frac{AB}{11}}{2} = \frac{AB}{11}\)

Таким образом, длина отрезка CC1 равна \(\frac{AB}{11}\).