Ticket 1: 1. Define line segment, ray, angle. Define full angle. Indicate rays and angles. 2. Prove the criterion

Билет 1:
1. Что такое отрезок, луч, угол? Что такое полный угол? Нарисуйте лучи и углы.
Ответ:
- Отрезок - это часть прямой, ограниченная двумя точками.
- Луч - это часть прямой, начинающаяся в одной точке (начале) и простирающаяся до бесконечности в одном направлении.
- Угол - это область плоскости, образованная двумя лучами исходящими из одной точки (вершины).
- Полный угол - это угол, равный 360 градусам или \(2\pi\) радианам.
Ниже представлены изображения для наглядности:

\[
\begin{align*}
\text{Отрезок AB} & \quad \text{Луч CD} & \quad \angle EFG \\
\text{----------} & \quad \rightarrow \quad & \quad \text{----->}
\end{align*}
\]

2. Докажите критерий равенства треугольников, основанный на двух сторонах и угле между ними.
Ответ:
Для доказательства критерия равенства треугольников, основанного на двух сторонах и угле между ними, используется так называемая "С-угл-С" (Сторона-Угол-Сторона) постулат.
Если две стороны треугольника и угол между ними в одном треугольнике равны соответственно двум сторонам и углу (соответственно) в другом треугольнике, то эти треугольники равны.

3. Найдите угол CVA.
Ответ: Для определения угла CVA необходимо дополнительная информация.

4. Сумма вертикальных углов в три раза больше смежного угла. Найдите вертикальные углы.
Ответ:
Пусть смежный угол равен \(x\) градусам. Тогда сумма вертикальных углов будет равна \(3x\) градусам.
Так как вертикальные углы равны друг другу, можно записать следующее уравнение:
\[2y + 2y = 3x\]
Упростим уравнение:
\[4y = 3x\]
Делим обе части уравнения на 4:
\[y = \frac{3x}{4}\]
Таким образом, вертикальные углы равны \(\frac{3x}{4}\) градусам.

Билет 2:
1. Что такое равные фигуры? Что такое середина отрезка и биссектриса угла?
Ответ:
- Равные фигуры - это фигуры, у которых все соответствующие стороны и углы равны.
- Середина отрезка - это точка, находящаяся на равном расстоянии от концов отрезка.
- Биссектриса угла - это луч, который делит угол пополам и проходит через его вершину.
Ниже представлены изображения для наглядности:

\[
\begin{align*}
\text{Равные фигуры} & \quad \text{Середина отрезка AB} & \quad \text{Биссектриса угла CDE} \\
\text{----------------} & \quad \text{---------C-----------} & \quad \text{--------->}
\end{align*}
\]

2. Докажите критерий равенства треугольников, основанный на одной стороне и двух смежных углах.
Ответ:
Для доказательства критерия равенства треугольников, основанного на одной стороне и двух смежных углах, используется постулат подобия треугольников.
Если одна сторона треугольника и два смежных угла соответственно равны одной стороне и двум смежным углам в другом треугольнике, то эти треугольники равны.

3. Найдите угол CVA.
Ответ: Для определения угла CVA необходима дополнительная информация.

4. Сумма вертикальных углов равна смежному углу. Найдите вертикальные углы.
Ответ:
Пусть смежный угол равен \(x\) градусам. Так как сумма вертикальных углов равна смежному углу, можно записать следующее уравнение:
\[2y + 2y = x\]
Упростим уравнение:
\[4y = x\]
Таким образом, вертикальные углы равны \(\frac{x}{4}\) градусам.