Какое число написал учитель на доске, если оно даёт остаток 1 при делении на 4, остаток 3 при делении на 6 и остаток

Давайте решим эту задачу пошагово:

Дано, что число даёт остаток 1 при делении на 4, остаток 3 при делении на 6 и остаток 4 при делении на 7.

Первое условие означает, что число можно представить в виде \(4x + 1\), где \(x\) - целое число.

Второе условие означает, что число можно представить в виде \(6y + 3\), где \(y\) - целое число.

Третье условие означает, что число можно представить в виде \(7z + 4\), где \(z\) - целое число.

Таким образом, наше число имеет вид: \(4x + 1 = 6y + 3 = 7z + 4\).

Чтобы найти наименьшее значение такого числа, мы можем использовать метод китайской теоремы об остатках.

Первым шагом найдём наименьшее общее кратное (НОК) чисел 4, 6 и 7. НОК равно 84.

Теперь мы можем рассмотреть числа вида \(84n + k\), где \(n\) - целое число, а \(k\) - одно из значений остатков (1, 3 или 4).

Подставим полученные значения остатков и найдём числа вида \(84n + k\):

\(84n + 1\), \(84n + 3\), \(84n + 4\).

Мы можем использовать итерации, чтобы найти наименьшее значение такого числа:

Попробуем последовательно увеличивать \(n\) на 1 и проверим, при каком значении \(n\) числа \(84n + 1\), \(84n + 3\) и \(84n + 4\) окажутся целыми значениями.

Найдём:

\(84 \cdot 1 + 1 = 85\)

\(84 \cdot 6 + 3 = 507\)

\(84 \cdot 11 + 4 = 940\)

Таким образом, наименьшее значение такого числа равно 85.

Значение 85 удовлетворяет всем условиям в задаче: оно даёт остаток 1 при делении на 4, остаток 3 при делении на 6 и остаток 4 при делении на 7.