Тест по теме: Перпендикулярность прямых и плоскостей Вариант – 1. 1. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда

Хорошо, давайте решим задачи по порядку.

1. Найдем диагональ прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. В данном случае, у нас есть три стороны: AB = 6 см, BC = 6 см и CA = 7 см. Давайте найдем диагональ AC.

Используем теорему Пифагора:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 + CA^2\]
\[AC^2 = 6^2 + 6^2 + 7^2\]
\[AC^2 = 36 + 36 + 49\]
\[AC^2 = 121\]
\[AC = \sqrt{121}\]
\[AC = 11 \text{ см}\]

Теперь у нас есть диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы построить общий перпендикуляр для скрещивающихся прямых, давайте найдем их направляющие векторы.

a) Для прямых А1А и СD:

Прямая А1А проходит через точки А1(0, 0, 0) и А(-6, 0, 0). Чтобы найти ее направляющий вектор, вычислим разницу между координатами этих точек:

\[ \overrightarrow{A1A} = (-6, 0, 0) - (0, 0, 0) = (-6, 0, 0) \]

Прямая CD проходит через точки C(0, 0, 7) и D(-6, 0, 7). Найдем ее направляющий вектор:

\[ \overrightarrow{CD} = (-6, 0, 7) - (0, 0, 7) = (-6, 0, 0) \]

Так как векторы направлений этих двух прямых равны, они параллельны друг другу.

b) Для прямых А1В и С1D:

Прямая А1В проходит через точки А1(0, 0, 0) и В(0, 6, 0). Найдем ее направляющий вектор:

\[ \overrightarrow{A1B} = (0, 6, 0) - (0, 0, 0) = (0, 6, 0) \]

Прямая С1D проходит через точки С1(0, 0, 7) и D(0, 6, 7). Найдем ее направляющий вектор:

\[ \overrightarrow{C1D} = (0, 6, 7) - (0, 0, 7) = (0, 6, 0) \]

Так как векторы направления этих двух прямых равны, они также параллельны друг другу.

Итак, мы построили общие перпендикуляры для скрещивающихся прямых.

2. Найдем расстояние от точки S до вершин треугольника. Для этого разобьем задачу на две части.

a) Найдем высоту треугольника. Так как точка S находится на расстоянии 4 см от плоскости треугольника и равноудалена от его вершин, мы можем считать, что точка S находится на высоте треугольника. Так как периметр треугольника равен 9√3 см, а это равноудаленная точка от всех трех вершин, каждая сторона треугольника равна \(\frac{9}{\sqrt{3}} \, \text{см} = 3\sqrt{3} \, \text{см}\). Мы знаем, что высота разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника, поэтому зная длину основания и высоту одного из них, мы можем найти искомое расстояние.

Используем теорему Пифагора для равнобедренного треугольника:
\[h^2 = c^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
\[h^2 = (3\sqrt{3})^2 - \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2\]
\[h^2 = 9 \cdot 3 - \frac{9 \cdot 3}{4}\]
\[h^2 = 27 - \frac{27}{4}\]
\[h^2 = \frac{108}{4} - \frac{27}{4}\]
\[h^2 = \frac{81}{4}\]
\[h = \frac{9\sqrt{3}}{2} \, \text{см}\]

b) Найдем расстояние от точки S до вершин. Так как точка S находится на высоте треугольника и равноудалена от всех трех вершин, то расстояние от точки S до вершин равно высоте треугольника. Получили, что расстояние от точки S до вершин треугольника равно \(\frac{9\sqrt{3}}{2} \, \text{см}\).

3. Чтобы провести перпендикуляр АВ из точки А, не лежащей в плоскости, нам понадобится найти параллельную этой плоскости прямую и провести к ней перпендикуляр. Поскольку данной плоскости нет в условии задачи, мы не можем выполнить это требование. Получили, что провести перпендикуляр АВ из точки А невозможно в данной ситуации.

Это все решения для задач теста. Если у вас есть еще вопросы, я готов помочь.