Тест по математике. 1. Если для каждого элемента х из множества Х имеет место равенство F (x)=f(x), то функцию

1. Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на данном множестве. Обозначается это как \(F(x) = \int f(x) dx\). Первообразная функция F(x) удовлетворяет условию \(F"(x) = f(x)\), где \(F"(x)\) - производная функции F(x) по переменной x.

Обоснование: Из условия задачи известно, что для каждого элемента х из множества Х имеет место равенство \(F""(x) = f(x)\). Значит, производная второго порядка функции F(x) равна функции f(x). По определению, если функция имеет производную второго порядка, то существует функция, производная которой равна данной функции. Эта функция называется первообразной функцией.

2. Формулу Ньютона-Лейбница используют для нахождения определенного интеграла функции. Определенный интеграл функции \(f(x)\) на отрезке [a, b] обозначается как \(\int_{a}^{b} f(x) dx\) и представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(f(x)\), осью абсцисс и вертикальными прямыми x=a и x=b.

Обоснование: Определенный интеграл можно вычислить с помощью формулы Ньютона-Лейбница, которая утверждает, что значение определенного интеграла функции f(x) на отрезке [a, b] равно разности первообразных функций F(x) в точках b и a, то есть \(\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\).

3. Множество первообразных для функции \(f(x) = 2\) есть множество всех функций вида \(F(x) = 2x + C\), где C - произвольная постоянная.

Обоснование: Чтобы найти первообразные функции для функции \(f(x) = 2\), необходимо найти функцию F(x), производная которой равна этой функции. Так как производная постоянной равна нулю, то производной от функции \(2x + C\) будет \(2\). Таким образом, \(F(x) = 2x + C\) является первообразной функцией для функции \(f(x) = 2\).

4. Разность \(F(b) - F(a)\) называют определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a; b]. Обозначается это как \(\int_{a}^{b} f(x)dx\).

Обоснование: Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [a, b] определяется как разность значений первообразной функции F(x) в точках b и a, то есть \(\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)\). Разность \(F(b) - F(a)\) показывает изменение значения функции F(x) на отрезке [a, b].