ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Задача 1. Как найти распределение относительных частот, если выборка задана в виде распределения

Задача 1. Чтобы найти распределение относительных частот, необходимо разделить значения частоты на сумму всех частот. Давайте выпишем данные в виде таблицы:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x_i & n_i & \text{Относительная частота } f_i \\
\hline
4 & 5 & \frac{5}{20} = 0.25 \\
7 & 2 & \frac{2}{20} = 0.10 \\
8 & 3 & \frac{3}{20} = 0.15 \\
12 & 10 & \frac{10}{20} = 0.50 \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, распределение относительных частот имеет вид: \(f_1 = 0.25\), \(f_2 = 0.10\), \(f_3 = 0.15\), \(f_4 = 0.50\).

Задача 2. Чтобы найти выборочную дисперсию, необходимо умножить каждое значение выборки на соответствующую частоту, найти среднее значение полученных произведений, а затем вычесть из него выборочное среднее, возведенное в квадрат. Давайте выполним необходимые расчеты:

Среднее значение выборки:
\[
\bar{x} = \frac{{186 \cdot 2 + 192 \cdot 5 + 194 \cdot 3}}{{2 + 5 + 3}} = \frac{{372 + 960 + 582}}{{10}} = \frac{{1914}}{{10}} = 191.4
\]

Выборочная дисперсия:
\[
s^2 = \frac{{(186 - \bar{x})^2 \cdot 2 + (192 - \bar{x})^2 \cdot 5 + (194 - \bar{x})^2 \cdot 3}}{{10}}
\]
\[
= \frac{{(186 - 191.4)^2 \cdot 2 + (192 - 191.4)^2 \cdot 5 + (194 - 191.4)^2 \cdot 3}}{{10}}
\]
\[
= \frac{{(186 - 191.4)^2 \cdot 2 + (192 - 191.4)^2 \cdot 5 + (194 - 191.4)^2 \cdot 3}}{{10}}
\]
\[
= \frac{{(5.4)^2 \cdot 2 + (0.6)^2 \cdot 5 + (2.6)^2 \cdot 3}}{{10}}
\]
\[
= \frac{{58.32 + 1.80 + 20.28}}{{10}} = \frac{{80.40}}{{10}} = 8.04
\]

Таким образом, выборочная дисперсия по данному распределению выборки равна 8.04.

Задача 3. Чтобы найти доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения \(\sigma\), мы будем использовать формулу для доверительного интервала, основанную на распределении Стьюдента.

Доверительный интервал для \(\sigma\) с надежностью 0.95 имеет вид:
\[
s - \frac{{t_{\alpha/2, n-1} \cdot s}}{{\sqrt{n-1}}} \leq \sigma \leq s + \frac{{t_{\alpha/2, n-1} \cdot s}}{{\sqrt{n-1}}}
\]

Где \(s\) - исправленное среднее квадратическое отклонение, \(t_{\alpha/2, n-1}\) - критическое значение распределения Стьюдента для заданной надежности и объема выборки (n-1).

Давайте подставим в формулу данные из задачи:
\(s = 1\), \(n = 16\), и найдем критическое значение \(t_{\alpha/2, n-1}\) с помощью таблицы распределения Стьюдента или специального калькулятора.

Получим доверительный интервал:
\[
1 - \frac{{t_{0.025, 15} \cdot 1}}{{\sqrt{16-1}}} \leq \sigma \leq 1 + \frac{{t_{0.025, 15} \cdot 1}}{{\sqrt{16-1}}}
\]

Остается только найти критическое значение \(t_{0.025, 15}\). Из таблицы распределения Стьюдента получаем \(t_{0.025, 15} \approx 2.131\).

Подставим все значения в доверительный интервал:
\[
1 - \frac{{2.131 \cdot 1}}{{\sqrt{16-1}}} \leq \sigma \leq 1 + \frac{{2.131 \cdot 1}}{{\sqrt{16-1}}}
\]

Упростим выражение:
\[
1 - \frac{{2.131}}{{\sqrt{15}}} \leq \sigma \leq 1 + \frac{{2.131}}{{\sqrt{15}}}
\]

Найденный доверительный интервал позволяет утверждать с надежностью 0.95, что генеральное среднее квадратическое отклонение \(\sigma\) находится в пределах от 0.61 до 1.39.