ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ Задача 1. Как найти распределение относительных частот, если выборка задана в виде распределения

Задача 1. Чтобы найти распределение относительных частот, необходимо разделить значения частоты на сумму всех частот. Давайте выпишем данные в виде таблицы:

$$\begin{array}{|ccc|}\hline x_i& n_i& \text{Относительная частота }{f}_i\\ 4& 5& \frac{5}{20}=0.25\\ 7& 2& \frac{2}{20}=0.10\\ 8& 3& \frac{3}{20}=0.15\\ 12& 10& \frac{10}{20}=0.50\\ \hline\end{array}$$

Таким образом, распределение относительных частот имеет вид: $f_1=0.25$, $f_2=0.10$, $f_3=0.15$, $f_4=0.50$.

Задача 2. Чтобы найти выборочную дисперсию, необходимо умножить каждое значение выборки на соответствующую частоту, найти среднее значение полученных произведений, а затем вычесть из него выборочное среднее, возведенное в квадрат. Давайте выполним необходимые расчеты:

Среднее значение выборки:
$$\overline{x}=\frac{186\cdot 2+192\cdot 5+194\cdot 3}{2+5+3}=\frac{372+960+582}{10}=\frac{1914}{10}=191.4$$

Выборочная дисперсия:
$$s^2=\frac{(186-\overline{x}{)}^2\cdot 2+(192-\overline{x}{)}^2\cdot 5+(194-\overline{x}{)}^2\cdot 3}{10}$$
$$=\frac{(186-191.4{)}^2\cdot 2+(192-191.4{)}^2\cdot 5+(194-191.4{)}^2\cdot 3}{10}$$
$$=\frac{(186-191.4{)}^2\cdot 2+(192-191.4{)}^2\cdot 5+(194-191.4{)}^2\cdot 3}{10}$$
$$=\frac{(5.4{)}^2\cdot 2+(0.6{)}^2\cdot 5+(2.6{)}^2\cdot 3}{10}$$
$$=\frac{58.32+1.80+20.28}{10}=\frac{80.40}{10}=8.04$$

Таким образом, выборочная дисперсия по данному распределению выборки равна 8.04.

Задача 3. Чтобы найти доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения $\sigma$, мы будем использовать формулу для доверительного интервала, основанную на распределении Стьюдента.

Доверительный интервал для $\sigma$ с надежностью 0.95 имеет вид:
$$s-\frac{t_{\alpha /2,n-1}\cdot s}{\sqrt{n-1}}\le \sigma \le s+\frac{t_{\alpha /2,n-1}\cdot s}{\sqrt{n-1}}$$

Где $s$ - исправленное среднее квадратическое отклонение, $t_{\alpha /2,n-1}$ - критическое значение распределения Стьюдента для заданной надежности и объема выборки (n-1).

Давайте подставим в формулу данные из задачи:
$s=1$, $n=16$, и найдем критическое значение $t_{\alpha /2,n-1}$ с помощью таблицы распределения Стьюдента или специального калькулятора.

Получим доверительный интервал:
$$1-\frac{t_{0.025,15}\cdot 1}{\sqrt{16-1}}\le \sigma \le 1+\frac{t_{0.025,15}\cdot 1}{\sqrt{16-1}}$$

Остается только найти критическое значение $t_{0.025,15}$. Из таблицы распределения Стьюдента получаем $t_{0.025,15}\approx 2.131$.

Подставим все значения в доверительный интервал:
$$1-\frac{2.131\cdot 1}{\sqrt{16-1}}\le \sigma \le 1+\frac{2.131\cdot 1}{\sqrt{16-1}}$$

Упростим выражение:
$$1-\frac{2.131}{\sqrt{15}}\le \sigma \le 1+\frac{2.131}{\sqrt{15}}$$

Найденный доверительный интервал позволяет утверждать с надежностью 0.95, что генеральное среднее квадратическое отклонение $\sigma$ находится в пределах от 0.61 до 1.39.