Существуют 63 разных целых числа, записанных на доске. Каждое число было возведено в квадрат или в куб, а затем

Чтобы решить данную задачу, мы можем представить ее с помощью различных чисел в виде множества. Пусть у нас есть множество чисел A, которое содержит все возможные числа, записанные на доске, а множество чисел B содержит только числа, которые могут быть получены путем возведения чисел из A в квадрат или в куб.

Исходя из условия задачи, мы хотим найти минимальное количество различных чисел, которые могли остаться в множестве B. Для этого нам нужно понять, какие числа можно получить путем возведения чисел в квадрат или в куб.

Заметим, что возведение в квадрат и в куб чисел не меняет их знак. Таким образом, мы можем получить только положительные числа путем возведения в квадрат или в куб. Поэтому все отрицательные числа из множества A исключаются из множества B.

Теперь рассмотрим возможные значения для каждого числа из множества B. Если мы возведем в квадрат число \(x\), получим \(x^2\), а если в куб, то \(x^3\). Поскольку мы хотим, чтобы числа, полученные таким образом, были разными, то нам нужно исключить числа, для которых выполняется следующее условие: \(x^2 = x^3\).

Решим данное уравнение:
\[x^2 - x^3 = 0\]
\[x^2(1 - x) = 0\]

Чтобы это уравнение было выполнено, один из множителей должен быть равен нулю:
\[x^2 = 0\] или \[1 - x = 0\]

Первое уравнение имеет только одно решение - \(x = 0\), а второе уравнение имеет одно решение - \(x = 1\).

Таким образом, мы исключаем числа 0 и 1 из множества B.

Вернемся к исходному условию: у нас есть 63 разных числа, записанных на доске. Зная, что числа 0 и 1 исключены из множества B, мы можем вычислить минимальное количество чисел, которые остались на доске следующим образом:
\[63 - 2 = 61\]

Ответ: минимальное количество различных чисел, которое могло остаться на доске, равно 61.