Существует набор чисел на доске, в котором содержатся различные числа. Замечаем, что каждое число имеет 2020 других

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся пошагово.

Предположим, что на доске имеется \(n\) чисел. Зная, что каждое из этих чисел равно среднему арифметическому 2020 других чисел, можем записать следующее уравнение:

\[\frac{{x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_{2020}}}{{2020}} = x_1 = x_2 = x_3 = ... = x_n,\]

где \(x_1, x_2, x_3, ..., x_n\) - это числа, находящиеся на доске.

Давайте продолжим упрощать это уравнение. Если каждое из чисел на доске равно среднему арифметическому остальных 2020 чисел, то они должны быть равны между собой. Поскольку каждое из чисел \(x_1, x_2, x_3, ..., x_n\) равно другим числам на доске, то каждое из этих чисел также является средним арифметическим 2020 других чисел.

Мы можем представить себе процесс построения этих чисел на доске следующим образом: начиная с исходного числа, мы находим среднее арифметическое 2020 чисел и добавляем его на доску. Затем повторяем этот процесс для каждого нового числа на доске.

Теперь давайте рассмотрим минимальное возможное количество чисел на доске. Чтобы узнать это количество, мы должны найти наименьшее возможное начальное число.

Каждое число на доске должно быть средним арифметическим 2020 других чисел. Предположим, что на доске есть только одно число \(x\). Тогда это число должно быть равно среднему арифметическому всех остальных 2020 чисел на доске, которых нет. Но таких чисел нет, поэтому исходного числа на доске должно быть больше одного.

Попробуем добавить второе число. Если на доске два числа, то каждое из них должно быть средним арифметическим 2020 других чисел, включая другое число. Пусть первое число на доске равно \(x\), а второе число на доске равно \(y\). Для первого числа это уравнение:

\[\frac{{x + y_1 + y_2 + ... + y_{2019}}}{{2020}} = x,\]

где \(y_1, y_2, ..., y_{2019}\) - это числа, которых еще нет на доске.

Так как у нас нет ограничений на выбор чисел, мы можем выбрать любое значение для \(y_1, y_2, ..., y_{2019}\). Мы хотим найти минимальное количество чисел на доске, поэтому выберем \(y_1, y_2, ..., y_{2019}\) таким образом, чтобы среднее арифметическое этих чисел было равно \(x\). В этом случае уравнение примет вид:

\[\frac{{x + x + x + ... + x}}{{2020}} = x,\]

где \(x\) повторяется 2019 раз.

Упрощая это уравнение, получим:

\[\frac{{2019x}}{{2020}} = x.\]

Умножим обе части на 2020, чтобы избавиться от дроби:

\[2019x = 2020x.\]

Теперь перенесем все члены с \(x\) влево:

\[2020x - 2019x = 0.\]

Упрощая, получим:

\[x = 0.\]

Таким образом, получаем, что первое число должно быть равно нулю.

Теперь давайте рассмотрим третье число на доске. Если на доске есть три числа (\(x, y, z\)), каждое из этих чисел должно быть равно среднему арифметическому остальных 2020 чисел. Рассмотрим уравнение для числа \(x\):

\[\frac{{x + y_1 + y_2 + ... + y_{2019} + z_1 + z_2 + ... + z_{2019}}}{{2020}} = x,\]

где \(y_1, y_2, ..., y_{2019}\) и \(z_1, z_2, ..., z_{2019}\) - числа, которых еще нет на доске.

Мы хотим найти минимальное количество чисел на доске, поэтому выберем \(y_1, y_2, ..., y_{2019}\) и \(z_1, z_2, ..., z_{2019}\) таким образом, чтобы среднее арифметическое этих чисел было равно \(x\).

Аналогично предыдущему случаю, уравнение примет вид:

\[\frac{{x + x + x + ... + x + x + x + ... + x}}{{2020}} = x,\]

где первое слагаемое будет содержать 2019 повторений \(x\), а второе слагаемое - 2020 повторений \(x\).

Упрощая это уравнение, получим:

\[\frac{{4040x}}{{2020}} = x.\]

Умножим обе части на 2020, чтобы избавиться от дроби:

\[4040x = 2020x.\]

Теперь перенесем все члены с \(x\) влево:

\[2020x - 4040x = 0.\]

Упрощая, получим:

\[-2020x = 0.\]

Таким образом, получаем, что третье число должно быть равно нулю.

Мы доказали, что первое, второе и третье число на доске должны быть равными. Каждое следующее число на доске также будет равно нулю. Таким образом, чтобы получить минимальное количество чисел на доске, нам достаточно добавить только три числа, и каждое из них должно быть равно нулю.

Таким образом, минимальное количество чисел на доске равно 3.