Який кут в трикутнику АВС, якщо координати точок А(1;0;2), В(1;-4;3), С(-1;-1;3)?

Чтобы найти угол в треугольнике АВС, образованный сторонами АВ и АС, нужно воспользоваться формулой косинуса:

\[
\cos(\theta) = \frac{{AB \cdot AC}}{{|AB| \cdot |AC|}}
\]

Где \(\theta\) - искомый угол, AB и AC - векторы, соответствующие сторонам треугольника, |AB| и |AC| - длины этих векторов.

Давайте начнем с вычисления векторов AB и AC.

Вектор AB можно получить, вычтя координаты точки A из координат точки B:

\[
AB = (\Delta x_{AB}, \Delta y_{AB}, \Delta z_{AB}) = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)
\]
\[
AB = (1 - 1, -4 - 0, 3 - 2) = (0, -4, 1)
\]

Аналогично, вектор AC можно получить вычитанием координат точки A из координат точки C:

\[
AC = (\Delta x_{AC}, \Delta y_{AC}, \Delta z_{AC}) = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)
\]
\[
AC = (-1 - 1, -1 - 0, 3 - 2) = (-2, -1, 1)
\]

Теперь, давайте посчитаем длины векторов AB и AC:

\[
|AB| = \sqrt{{\Delta x_{AB}}^2 + {\Delta y_{AB}}^2 + {\Delta z_{AB}}^2}
\]
\[
|AB| = \sqrt{{0^2 + (-4)^2 + 1^2}} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}
\]

\[
|AC| = \sqrt{{\Delta x_{AC}}^2 + {\Delta y_{AC}}^2 + {\Delta z_{AC}}^2}
\]
\[
|AC| = \sqrt{{(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}
\]

Теперь, подставим полученные значения в формулу косинуса:

\[
\cos(\theta) = \frac{{AB \cdot AC}}{{|AB| \cdot |AC|}}
\]
\[
\cos(\theta) = \frac{{(0, -4, 1) \cdot (-2, -1, 1)}}{{\sqrt{17} \cdot \sqrt{6}}}
\]
\[
\cos(\theta) = \frac{{0 \cdot (-2) + (-4) \cdot (-1) + 1 \cdot 1}}{{\sqrt{17} \cdot \sqrt{6}}}
\]
\[
\cos(\theta) = \frac{{4 + 4 + 1}}{{\sqrt{17} \cdot \sqrt{6}}}
\]
\[
\cos(\theta) = \frac{{9}}{{\sqrt{17} \cdot \sqrt{6}}}
\]
\[
\cos(\theta) \approx 0.796
\]

Теперь нам нужно найти значение угла \(\theta\), обратившись к таблице значений косинуса. Посмотрим на таблицу и находим значение, ближайшее к 0.796, например, 0.7975.

Используя значение 0.7975, мы можем найти соответствующий угол:

\[
\theta = \cos^{-1}(0.7975) \approx 0.634 \text{ радиан} \approx 36.37^\circ
\]

Таким образом, угол в треугольнике АВС, образованный сторонами АВ и АС, примерно равен 36.37 градусов.