Следует ли из того, что длины двух неравных сторон прямоугольника выражаются

Question

Алгебра: Следует ли из того, что длины двух неравных сторон прямоугольника выражаются иррациональными числами, что площадь данного прямоугольника также будет иметь иррациональное значение?

Сказочный_Факир · Accepted Answer

Да, следует. Давайте внимательно рассмотрим, почему это так.

Пусть у нас есть прямоугольник с длиной стороны \(a\) и шириной стороны \(b\), где \(a\) и \(b\) - иррациональные числа. Мы знаем, что площадь прямоугольника \(S\) вычисляется по формуле \(S = a \cdot b\).

Предположим, что площадь \(S\) является рациональным числом. То есть, пусть \(S\) можно представить в виде дроби \(S = \frac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) - целые числа.

Тогда мы можем написать следующее равенство:

\[S = a \cdot b = \frac{p}{q}\]

Домножим обе части на \(q\) (поскольку \(q\) не равно нулю):

\[a \cdot b \cdot q = p\]

Таким образом, мы можем заключить, что произведение иррациональных чисел \(a \cdot b \cdot q\) является рациональным числом \(p\).

Но это противоречит нашему изначальному предположению о том, что \(a\) и \(b\) являются иррациональными числами. Иррациональное число, умноженное на рациональное число (\(q\)), не может быть рациональным числом. Поэтому, наше предположение было неверным.

Таким образом, если длины двух неравных сторон прямоугольника выражаются иррациональными числами, мы можем сделать вывод, что площадь данного прямоугольника также будет иметь иррациональное значение.

Следует ли из того, что длины двух неравных сторон прямоугольника выражаются иррациональными числами, что площадь

Сказочный_Факир

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!