Сконструирована треугольная прямая призма с использованием разных отрезков длиной 3см, 6см и 7см. Ребра основания

Для нахождения максимального объема треугольной прямой призмы, нужно определить длины сторон основания, при которых объем будет максимальным.

Пусть \(a\), \(b\), и \(c\) - длины ребер призмы, а \(x\) - длина стороны основания. Так как ребра основания призмы составлены из выбранных отрезков одинаковой длины, получаем уравнение:

\[a = b = c = x\]

Также, из условия задачи известно, что длины отрезков равны 3см, 6см и 7см. Поскольку треугольная призма имеет основание в виде треугольника, нужно учитывать неравенства треугольника:

\[
\begin{align*}
3 + 3 &> x \\
3 + 6 &> x \\
3 + 7 &> x \\
6 + 7 &> x \\
\end{align*}
\]

Следовательно:

\[
\begin{align*}
x &< 6 \\
x &< 9 \\
x &< 10 \\
x &> 1 \\
\end{align*}
\]

Из этих неравенств мы видим, что значение \(x\) должно быть больше 1 и меньше 6. Теперь мы можем приступить к поиску максимального объема.

Объем прямой треугольной призмы определяется формулой \(V = \frac{1}{2} \cdot A_{\text{осн}} \cdot h\), где \(A_{\text{осн}}\) - площадь основания, а \(h\) - высота призмы.

Площадь основания треугольной призмы можно найти, используя формулу для площади треугольника: \(A_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)\), где \(a\), \(b\) - длины сторон основания, а \(\gamma\) - угол между этими сторонами.

Поскольку в условии задачи сказано, что основание треугольной призмы - прямоугольный треугольник, угол между сторонами будет 90 градусов (\(\gamma = 90^\circ\)), и площадь основания упрощается до \(A_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) - это длины сторон основания.

Теперь можем приступить к нахождению максимального объема призмы. Подставим значения в формулы:

Площадь основания:
\[A_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{1}{2}x^2\]

Высота призмы:
\[h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{7^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \sqrt{49 - \frac{x^2}{4}}\]

Объем призмы:
\[V = \frac{1}{2} \cdot A_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^2 \cdot \sqrt{49 - \frac{x^2}{4}} = \frac{1}{4}x^2 \sqrt{49 - \frac{x^2}{4}}\]

Теперь найдем максимальное значение объема, взяв производную от \(V\) и приравняв ее к нулю:

\[\frac{dV}{dx} = \frac{1}{2}x \sqrt{49 - \frac{x^2}{4}} - \frac{1}{8}x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{49 - \frac{x^2}{4}}} = 0\]

Сократив на \(\frac{1}{2}x\), получаем:

\[\sqrt{49 - \frac{x^2}{4}} = \frac{1}{4}x\]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[49 - \frac{x^2}{4} = \frac{1}{16}x^2\]

Переносим все члены в одну сторону:

\[49 = \frac{x^2}{4} + \frac{1}{16}x^2\]

Находим общий знаменатель:

\[49 = \frac{4x^2 + x^2}{16}\]

Упрощаем:

\[49 = \frac{5x^2}{16}\]

Умножаем обе части уравнения на \(\frac{16}{5}\), чтобы избавиться от дроби:

\[x^2 = \frac{49 \cdot 16}{5}\]

Вычисляем:

\[x^2 = \frac{3136}{5}\]

Найдем значение \(x\):

\(x = \sqrt{\frac{3136}{5}}\)

Теперь заметим, что \(x^2\) должно быть больше 1 и меньше 36 (так как \(x^2\) является длиной стороны квадрата и не может быть меньше 1 или больше 36). Отсекая некоторые варианты, получаем:

\[1 < x < 6\]

То есть длина стороны основания призмы должна быть больше 1 и меньше 6.

Теперь найдем значение объема при таких значениях \(x\):

\[V = \frac{1}{4} \cdot \left(\sqrt{\frac{3136}{5}}\right)^2 \cdot \sqrt{49 - \frac{\left(\sqrt{\frac{3136}{5}}\right)^2}{4}}\]

Вычисляя, мы получаем, что максимальный возможный объем этой призмы составляет: