Сколько выстрелов солдат должен сделать, чтобы успешно поразить цель 100 раз, если его вероятность попадания составляет

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать понятие вероятностей и применить его к ситуации стрельбы солдата.

Дано, что вероятность попадания солдата составляет 12,5% или 0,125 в десятичном виде. Ищем количество выстрелов, необходимых для успешного поражения цели 100 раз.

Пусть Х - случайная величина, представляющая количество попаданий солдата после n выстрелов. Также предполагаем, что каждый выстрел независим от предыдущих выстрелов и имеет одинаковую вероятность попадания.

Вероятность попадания в один выстрел равняется 0,125. Значит, вероятность промаха в один выстрел равна 1 - 0,125 = 0,875.

Теперь мы можем использовать биномиальное распределение, чтобы найти вероятность получения определенного количества попаданий из n выстрелов. Формула для этого: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k), где C(n, k) обозначает число сочетаний из n элементов по k.

В данной задаче нам нужно узнать, какое количество выстрелов, т.е. значение n, позволит нам успешно поразить цель точно 100 раз. То есть, нам нужно найти n такое, что P(X >= 100).

Мы можем использовать подход перебора значений n, начиная с минимального возможного значения и последовательно увеличивая его, чтобы найти минимальное n, для которого вероятность P(X >= 100) станет больше или равной 100%.

Обоснование: Приближая наше значение p попадания к 0, и увеличивая количество выстрелов n, вероятность поражения цели точно 100 раз растет. Так как мы используем вероятность попадания 0,125, то ответом будет минимальное n, при котором P(X >= 100) >= 1.

Давайте решим эту задачу численно:

Пусть n = 500 (мы начинаем с относительно большого значения)
Тогда P(X >= 100) = 1 - P(X < 100) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 99))
Подставим значения в формулу и рассчитаем это:

P(X >= 100) = 1 - (C(500, 0)*(0,125^0)*(0,875^500) + C(500, 1)*(0,125^1)*(0,875^499) + ... + C(500, 99)*(0,125^99)*(0,875^401))

Это достаточно сложный расчет, и для ускорения его работы можно использовать компьютер или калькулятор с функцией биномиального распределения.

Итеративным перебором мы можем увеличить значение n, чтобы найти точный ответ, который даст нам P(X >= 100) >= 1.

Для примера, продолжим перебирать значения n и будем увеличивать его на 100 (n = 500, 600, 700 и т.д.) до тех пор, пока вероятность не станет больше или равной 1.

(Можно также провести эксперименты в программе и посмотреть, при каком значении n вероятность становится достаточно близкой к 1.)

Примечание: Существуют статистические методы для приближенного решения таких задач, например, нормальное распределение можно использовать, когда количество наблюдений большое, и вероятность попадания очень мала. Однако, эта задача может быть решена и с точностью с использованием биномиального распределения и перебора значений n, как указано выше.