Сколько выпуклых четырёхугольников можно образовать, используя отмеченные вершины и середины сторон правильного

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим возможные варианты четырёхугольников, которые можно образовать, используя отмеченные вершины и середины сторон правильного 8-угольника.

Для того чтобы построить выпуклый четырёхугольник, нам нужно выбрать 4 точки из 16 доступных. Для начала, давайте выберем одну точку A. У нас есть 16 возможных вариантов выбора для этой точки.

Затем, нам нужно выбрать ещё 3 точки из оставшихся 15. При этом, обратите внимание, что для каждой выбранной точки A, существует несколько правил, которые нужно учесть:

1. Четырёхугольник должен быть выпуклым.
2. Соседние точки должны лежать на отрезке, соединяющем две выбранные точки.

Исходя из этих правил, можно сделать следующие наблюдения:

- Если мы выбрали точку A на вершине правильного 8-угольника, то у нас есть 7 возможных вариантов выбора следующей точки, так как мы не можем выбрать соседнюю вершину.

- Если мы выбрали одну из середин сторон правильного 8-угольника, то у нас есть 3 возможных варианта выбора следующей точки, так как мы не можем выбрать точку на той же стороне или её соседние середины.

Итак, чтобы найти общее количество возможных выпуклых четырёхугольников, нам нужно сложить все различные комбинации в соответствии с правилами, описанными выше.

Давайте вычислим это:

Для выбора точки A на вершине правильного 8-угольника, мы имеем 7 возможных вариантов, а для каждой из них есть 3 возможных точки для выбора.

\(7 \times 3 = 21\)

Для выбора одной из середин сторон правильного 8-угольника, мы имеем 8 возможных вариантов, а для каждой из них есть 1 возможная точка для выбора.

\(8 \times 1 = 8\)

Итак, общее количество возможных выпуклых четырёхугольников, которые можно образовать, используя отмеченные вершины и середины сторон правильного 8-угольника, равно:

\(21 + 8 = 29\)

Таким образом, существует 29 различных четырёхугольников, которые можно образовать по условию задачи.