4. Яка основа рівнобедреного трикутника довжиною 8 м, а кут між бічними сторонами становить 60°? Виразіть площу цього

4. Для розв"язання цієї задачі ми можемо використати формулу площі трикутника. Оскільки трикутник рівнобедрений, ми знаємо, що основа (сторона, на яку спираються осі симетрії) має довжину 8 метрів і кут між бічними сторонами становить 60°.

Розділимо рівнобедрений трикутник на два прямокутних трикутники. Кут між основою трикутника і одним з бокових кутів буде 30°, оскільки сума кутів у трикутнику дорівнює 180°.

Тепер використаємо тригонометричні відношення. Знаючи, що кут між основою і боковою стороною становить 30°, ми можемо використати тригонометричну функцію синус:

\(\sin(30°) = \frac{{протилежна сторона}}{{гіпотенуза}}\)

Протилежна сторона - це висота трикутника, яку ми хочемо знайти, а гіпотенуза - це бічна сторона рівнобедреного трикутника.

Тепер ми можемо записати формулу для знаходження площі трикутника:

\[Площа = \frac{{основа \cdot висота}}{2}\]

Підставимо відомі значення в формулу:

\[Площа = \frac{{8 \cdot \sin(30°) \cdot 8}}{2}\]

Знаходимо значення синуса 30°:

\(\sin(30°) = \frac{1}{2}\)

Підставимо значення синуса 30° в формулу:

\[Площа = \frac{{8 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8}}{2}\]

Скорочуємо чисельник:

\[Площа = \frac{{32}}{2}\]

Знаходимо площу:

\[Площа = 16\] метрів квадратних.

Отже, площа цього рівнобедреного трикутника становить 16 метрів квадратних.

3. Для знаходження довжини іншої сторони у трикутнику ABC, ми можемо використати теорему синусів.

Теорема синусів стверджує, що при довільному трикутнику співвідношення між довжинами сторін і синусами відповідних кутів рівні:

\[\frac{{a}}{{\sin(A)}} = \frac{{b}}{{\sin(B)}} = \frac{{c}}{{\sin(C)}}\]

У нашому трикутнику ABC відомі значення двох кутів: кут А дорівнює 60 градусів, кут В дорівнює 30 градусів, і одна зі сторін AB має довжину 20.

Позначимо довжину іншої сторони як \(c\) і кут між цією стороною і стороною AB як \(C\).

Тепер підставимо відомі значення в теорему синусів:

\[\frac{{20}}{{\sin(60°)}} = \frac{{c}}{{\sin(C)}}\]

Знаходимо значення синуса 60°:

\(\sin(60°) = \frac{{\sqrt{3}}}{2}\)

Підставимо значення синуса 60° в формулу:

\[\frac{{20}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}} = \frac{{c}}{{\sin(C)}}\]

Спростимо праву частину рівняння:

\[\frac{{40}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{c}}{{\sin(C)}}\]

Щоб знайти довжину іншої сторони, ми також повинні знати значення синуса кута \(C\). Однак, воно не надається у постановці задачі. Тому, щоб знайти довжину іншої сторони, нам необхідно знати значення кута \(C\) в задачі. Без цього значення ми не зможемо знайти довжину іншої сторони.