Сколько всего шаров лежит в пяти ящиках, если они являются красными, синими и белыми, и в каждом ящике число синих

Ноя 17, 2023

Сколько всего шаров лежит в пяти ящиках, если они являются красными, синими и белыми, и в каждом ящике число синих шаров равно общему числу белых шаров в остальных ящиках, а число белых шаров равно общему числу красных шаров в остальных ящиках? Известно, что общее количество шаров четно, больше 50 и меньше 100. Ваш ответ должен содержать решение и итоговое количество шаров.

Кузнец

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть

r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}, r_{5}

- количество красных шаров в каждом из пяти ящиков соответственно.
Пусть

b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}

- количество синих шаров в каждом из пяти ящиков соответственно.
Пусть

w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}, w_{5}

- количество белых шаров в каждом из пяти ящиков соответственно.

Мы знаем, что число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров в остальных ящиках, а число белых шаров равно общему числу красных шаров в остальных ящиках. Поэтому у нас есть следующие уравнения:

b_{1} = w_{2} + w_{3} + w_{4} + w_{5}

b_{2} = w_{1} + w_{3} + w_{4} + w_{5}

b_{3} = w_{1} + w_{2} + w_{4} + w_{5}

b_{4} = w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{5}

b_{5} = w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{4}

Мы также знаем, что общее количество шаров является четным числом, большим 50 и меньшим 100. Поэтому у нас есть еще одно уравнение:

r_{1} + r_{2} + r_{3} + r_{4} + r_{5} + b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{4} + w_{5} \equiv 0 (\mod 2)

r_{1} + r_{2} + r_{3} + r_{4} + r_{5} + (w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{4} + w_{5}) + (w_{2} + w_{3} + w_{4} + w_{5}) + (w_{1} + w_{3} + w_{4} + w_{5}) + (w_{1} + w_{2} + w_{4} + w_{5}) + (w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{4}) \equiv 0 (\mod 2)

Теперь мы можем подставлять значения и решать это уравнение.

Так как общее число шаров четно и больше 50, попробуем некоторые значения для количества шаров и подставим их в уравнения, чтобы найти подходящие значения. Давайте начнем с 56 шаров.

Пусть

r_{1} = 1

r_{2} = 1

r_{3} = 1

r_{4} = 1

r_{5} = 1

b_{1} = 10

b_{2} = 10

b_{3} = 10

b_{4} = 10

b_{5} = 10

.

Подставим полученные значения в уравнения:

b_{1} = w_{2} + w_{3} + w_{4} + w_{5} \Rightarrow 10 = w_{2} + w_{3} + w_{4} + w_{5}

b_{2} = w_{1} + w_{3} + w_{4} + w_{5} \Rightarrow 10 = w_{1} + w_{3} + w_{4} + w_{5}

b_{3} = w_{1} + w_{2} + w_{4} + w_{5} \Rightarrow 10 = w_{1} + w_{2} + w_{4} + w_{5}

b_{4} = w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{5} \Rightarrow 10 = w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{5}

b_{5} = w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{4} \Rightarrow 10 = w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{4}

Теперь сложим все уравнения:

r_{1} + r_{2} + r_{3} + r_{4} + r_{5} + (w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{4} + w_{5}) + (w_{2} + w_{3} + w_{4} + w_{5}) + (w_{1} + w_{3} + w_{4} + w_{5}) + (w_{1} + w_{2} + w_{4} + w_{5}) + (w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{4}) \equiv 0 (\mod 2)

5 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5 w_{1} + 4 w_{2} + 4 w_{3} + 4 w_{4} + 4 w_{5} \equiv 0 (\mod 2)

80 + 5 w_{1} + 4 w_{2} + 4 w_{3} + 4 w_{4} + 4 w_{5} \equiv 0 (\mod 2)

Подставим

w_{1} = 1, w_{2} = 2, w_{3} = 3, w_{4} = 4, w_{5} = 5

80 + 5 (1) + 4 (2) + 4 (3) + 4 (4) + 4 (5) \equiv 0 (\mod 2)

80 + 5 + 8 + 12 + 16 + 20 \equiv 0 (\mod 2)

141 ≢ 0 (\mod 2)

Наше предположение неверно, так как оно не удовлетворяет условию четности количества шаров. Попробуем другие значения.

Подставим

r_{1} = 2

r_{2} = 2

r_{3} = 2

r_{4} = 2

r_{5} = 2

b_{1} = 10

b_{2} = 10

b_{3} = 10

b_{4} = 10

b_{5} = 10

b_{1} = w_{2} + w_{3} + w_{4} + w_{5} \Rightarrow 10 = w_{2} + w_{3} + w_{4} + w_{5}

b_{2} = w_{1} + w_{3} + w_{4} + w_{5} \Rightarrow 10 = w_{1} + w_{3} + w_{4} + w_{5}

b_{3} = w_{1} + w_{2} + w_{4} + w_{5} \Rightarrow 10 = w_{1} + w_{2} + w_{4} + w_{5}

b_{4} = w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{5} \Rightarrow 10 = w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{5}

b_{5} = w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{4} \Rightarrow 10 = w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{4}

r_{1} + r_{2} + r_{3} + r_{4} + r_{5} + (w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{4} + w_{5}) + (w_{2} + w_{3} + w_{4} + w_{5}) + (w_{1} + w_{3} + w_{4} + w_{5}) + (w_{1} + w_{2} + w_{4} + w_{5}) + (w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{4}) \equiv 0 (\mod 2)

10 + 20 + 20 + 20 + 20 + 5 w_{1} + 4 w_{2} + 4 w_{3} + 4 w_{4} + 4 w_{5} \equiv 0 (\mod 2)

110 + 5 w_{1} + 4 w_{2} + 4 w_{3} + 4 w_{4} + 4 w_{5} \equiv 0 (\mod 2)

Подставим

w_{1} = 2, w_{2} = 4, w_{3} = 6, w_{4} = 8, w_{5} = 10

110 + 5 (2) + 4 (4) + 4 (6) + 4 (8) + 4 (10) \equiv 0 (\mod 2)

110 + 10 + 16 + 24 + 32 + 40 \equiv 0 (\mod 2)

222 \equiv 0 (\mod 2)

Наше предположение верно! Получается, что в каждом ящике будет по 2 красных, 10 синих и 20 белых шаров. Чтобы узнать общее количество шаров, просто сложим количество шаров в каждом из ящиков:

Общее количество шаров =

r_{1} + r_{2} + r_{3} + r_{4} + r_{5} + b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + w_{1} + w_{2} + w_{3} + w_{4} + w_{5}

Подставим найденные значения:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 210

Итак, в пяти ящиках всего лежит 210 шаров.

Знаешь ответ?

Математика

Какие другие значения могут иметь границы числа х, чтобы двойное неравенство оставалось верным?

Дек 7, 2023

Математика

Какое неполное делимое указано в первом примере деления? Сколько цифр должно содержать частное...

Дек 7, 2023

Сколько всего шаров лежит в пяти ящиках, если они являются красными, синими и белыми, и в каждом ящике число синих

Кузнец

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!