Сколько времени займет ракете, движущейся вертикально вниз относительно воздушного шара, чтобы достичь земли, если

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать уравнение движения и принцип сохранения энергии.

Сначала рассмотрим движение воздушного шара. По условию шар движется вверх с постоянной скоростью 1 м/с. Пусть \(h\) - высота шара над землей в данный момент времени. Тогда \(h = 57\) метров.

Запишем уравнение движения шара:
\[h = h_0 + vt,\]
где \(h_0\) - начальная высота шара, \(v\) - скорость шара, \(t\) - время, прошедшее с момента запуска ракеты.

Ракета движется вертикально вниз относительно шара, значит ее начальная скорость будет равна относительной скорости шара и равна \(-1\) м/с.

Рассмотрим движение ракеты. По второму закону Ньютона можем записать уравнение движения ракеты:
\[m\frac{{dv}}{{dt}} = F,\]
где \(m\) - масса ракеты, \(\frac{{dv}}{{dt}}\) - ускорение ракеты, \(F\) - сила тяги ракетного двигателя.

Масса ракеты остается постоянной (\(m = 1\) кг), а сила тяги равна 2 Н.

Теперь применим принцип сохранения энергии. При движении вдоль вертикальной оси без учета сопротивления воздуха и изменения массы ракеты, полная механическая энергия остается постоянной. То есть сумма потенциальной и кинетической энергий ракеты в начальный момент времени будет равна сумме этих энергий в конечный момент времени:
\[mgh_0 + \frac{1}{2}mv_0^2 = mgh + \frac{1}{2}mv^2,\]
где \(g \approx 9.8\) м/с² - ускорение свободного падения, \(v_0\) - начальная скорость ракеты, \(v\) - скорость ракеты в конечный момент времени.

Так как ракета движется вертикально вниз, то ее начальная скорость равна \(-1\) м/с, а скорость ракеты в конечный момент времени - \(v\).

Разрешим это уравнение относительно скорости ракеты:
\[v = \sqrt{2g(h_0 - h) + v_0^2}.\]

Таким образом, важно определить начальную скорость ракеты \(v_0\). Эта скорость равна относительной скорости движения шара и равна \(-1\) м/с. Подставив все известные значения в уравнение, мы получим:
\[v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot (57 - 0) + (-1)^2} = \sqrt{1123} \approx 33.5 \text{ м/с}.\]

Теперь мы можем найти время, которое займет ракете, чтобы достигнуть земли. Для этого найдем высоту ракеты над землей, когда она достигает земли. Мы знаем, что \(h = 0\) метров.

Подставив известные значения в уравнение движения ракеты, получим:
\[h = h_0 + vt.\]
Так как \(h_0 = 57\) метров, \(v = \sqrt{1123}\) м/с и \(h = 0\) метров, то мы можем найти \(t\):
\[t = \frac{{h - h_0}}{{v}} = \frac{{0 - 57}}{{\sqrt{1123}}}.\]

Вычислив это выражение, мы приходим к ответу: ракете понадобится примерно 1.907 секунды, чтобы достигнуть земли. Ответ округляем до десятых долей секунды.

Поэтому ракете потребуется примерно 1.9 секунды, чтобы достичь земли, если она запускается из корзины воздушного шара, движущегося вверх с постоянной скоростью 1 м/с и с силой тяги ракетного двигателя, равной 2 Н.