Сколько времени потребуется для остановки автомобиля, если на него начнет действовать тормозящая сила, увеличивающаяся

Чтобы решить данную задачу, мы должны использовать уравнение движения для постоянного ускорения. Это уравнение имеет вид:

\[v = u + at\]

где \(v\) - конечная скорость, \(u\) - начальная скорость, \(a\) - ускорение, \(t\) - время.

В нашем случае начальная скорость \(u\) равна 90 км/ч, что можно перевести в м/с, умножив на коэффициент 1000/3600:

\[u = 90 \cdot \frac{1000}{3600} \, \text{м/с} = 25 \, \text{м/с}\]

Мы знаем, что ускорение \(a\) является тормозящей силой, увеличивающейся линейно. Другими словами, она можно представить как \(a = k \cdot t\), где \(k\) - постоянный коэффициент пропорциональности.

Теперь мы можем записать уравнение движения в виде:

\[v = 25 + k \cdot t\]

Также нам дана масса автомобиля \(m = 2 \times 10^3\) кг. Для остановки автомобиля необходимо противодействие силы инерции, то есть сила трения. Сила трения (тормозящая сила) может быть выражена через ускорение:

\[F = m \cdot a\]

Мы знаем, что сила трения равна тормозящей силе, поэтому:

\[F = m \cdot k \cdot t\]

Тормозящая сила также может быть выражена через скорость по формуле:

\[F = m \cdot \frac{{dv}}{{dt}}\]

Так как мы ищем время остановки, то конечная скорость \(v\) будет равна 0. Поэтому мы можем записать:

\[0 = m \cdot \frac{{dv}}{{dt}}\]

Теперь мы можем решить это дифференциальное уравнение. Разделим обе части уравнения на \(m\) и переместим переменные:

\[\frac{{dv}}{{v}} = -k \cdot dt\]

Теперь мы можем проинтегрировать обе части уравнения:

\[\int \frac{{dv}}{{v}} = \int -k \cdot dt\]

Чтобы проинтегрировать левую часть, мы используем интеграл \(\ln{|v|}\), а правая часть интегрируется как \(-k \cdot t + C\), где \(C\) - константа интегрирования.

Таким образом, мы получаем:

\[\ln{|v|} = -k \cdot t + C\]

Возведем обе части уравнения в экспоненту \(e\):

\[|v| = e^{-k \cdot t + C}\]

Так как \(|v|\) может быть как положительным, так и отрицательным, то мы можем записать:

\[v = \pm e^{-k \cdot t + C}\]

Однако в нашем случае скорость не может быть отрицательной, поэтому мы можем упростить уравнение, убрав знак "плюс":

\[v = e^{-k \cdot t + C}\]

Теперь мы должны использовать начальное условие, чтобы определить значение константы \(C\). Изначально автомобиль движется со скоростью 25 м/с (начальная скорость). Подставим это значение в уравнение:

\[25 = e^{-k \cdot 0 + C}\]

Так как \(e^{-k \cdot 0}\) равно 1, мы можем записать:

\[25 = e^C\]

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

\[\ln{25} = C\]

Таким образом, мы нашли значение константы \(C\).

Теперь мы можем записать окончательное уравнение для скорости:

\[v = e^{-k \cdot t + \ln{25}}\]

Нам нужно найти время остановки, когда \(v = 0\). Подставим это значение в уравнение и решим его:

\[0 = e^{-k \cdot t + \ln{25}}\]

Возведем обе части уравнения в экспоненту \(e\):

\[1 = e^{-k \cdot t + \ln{25}}\]

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

\[\ln{1} = -k \cdot t + \ln{25}\]

Так как \(\ln{1}\) равно 0, мы можем записать:

\[0 = -k \cdot t + \ln{25}\]

Теперь выразим \(t\):

\[k \cdot t = \ln{25}\]

\[t = \frac{{\ln{25}}}{{k}}\]

Таким образом, время остановки автомобиля равно \(\frac{{\ln{25}}}{{k}}\).

Выражение \(k\) определяется тормозящей силой, увеличивающейся линейно. К сожалению, в условии задачи не указано значение \(k\), поэтому мы не можем найти точное значение времени остановки. Однако мы можем использовать данное решение для любого заданного значения \(k\), чтобы найти соответствующее время.