Сколько времени потребуется, чтобы количество радиоактивного изотопа 137Cs, который попал в атмосферу в результате

Конечно! Давайте рассмотрим пошаговое решение этой задачи.

Для начала, давайте определимся с моделью, которую мы будем использовать для описания распада радиоактивного изотопа. Распад радиоактивных веществ описывается экспоненциальной функцией:

\[N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\]

Где:
- \(N(t)\) - количество радиоактивного изотопа в момент времени \(t\)
- \(N_0\) - исходное количество радиоактивного изотопа
- \(\lambda\) - постоянная распада
- \(t\) - время

Для решения задачи нам необходимо найти время, при котором количество радиоактивного изотопа станет менее 1% от исходного, то есть \(N(t) < 0.01 \cdot N_0\).

Подставим в формулу изначальные условия задачи: \(N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\) и \(N(t) < 0.01 \cdot N_0\) и решим получившееся уравнение.

\[N_0 \cdot e^{-\lambda t} < 0.01 \cdot N_0\]

Сокращаем \(N_0\) с обеих сторон уравнения:

\[e^{-\lambda t} < 0.01\]

Теперь применим натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

\[\ln(e^{-\lambda t}) < \ln(0.01)\]

По свойству логарифма \(\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)\), получаем:

\[-\lambda t < \ln(0.01)\]

Теперь разделим обе части уравнения на \(-\lambda\):

\[t > \frac{\ln(0.01)}{-\lambda}\]

Теперь мы можем рассчитать время, используя данные из задачи. Осталось только вычислить \(\lambda\) - постоянную распада. Постоянная распада зависит от полураспадного времени \(T_{1/2}\) по формуле \(\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}\).

Для изотопа \(^{137}Cs\) полураспадное время составляет примерно 30 лет. Подставим это значение в формулу:

\(\lambda = \frac{\ln(2)}{30}\)

Теперь можем вычислить искомое время:

\[t > \frac{\ln(0.01)}{-\frac{\ln(2)}{30}}\]

Чтобы получить точное значение, рассчитаем это выражение:

\[t \approx 197.3\ \text{лет}\]

Таким образом, чтобы количество радиоактивного изотопа \(^{137}Cs\) стало менее 1% от исходного, требуется примерно 197.3 лет.