Сколько вращений большой шестеренки потребуется, чтобы обе шестеренки вернулись в исходное положение, если большая

Для решения этой задачи, нам необходимо рассмотреть, как связано количество зубчиков на каждой шестеренке с количеством полных оборотов, необходимых для возврата в исходное положение.

Давайте рассмотрим маленькую шестеренку с 20 зубчиками и большую шестеренку с 30 зубчиками. Когда мы вращаем большую шестеренку на один оборот, она совершает вращение на $\frac{30}{20}=1.5$ оборота относительно маленькой шестеренки.

Теперь давайте посмотрим, сколько оборотов потребуется для того, чтобы обе шестеренки вернулись в исходное положение. Если мы умножим количество оборотов большой шестеренки на $\frac{3}{2}$, то получим количество оборотов для маленькой шестеренки, при котором обе шестеренки будут находиться в исходном положении.

Пусть $x$ - количество оборотов большой шестеренки. Тогда количество оборотов для маленькой шестеренки будет $1.5x$. Чтобы обе шестеренки вернулись в исходное положение, нужно, чтобы количество оборотов для маленькой шестеренки было целым числом.

Так как шестеренки могут вернуться в исходное положение только в тот момент, когда количество оборотов будет положительным целым числом, нам необходимо найти наименьшее положительное целое значение $x$, для которого $1.5x$ будет целым числом.

Чтобы получить наименьшее значение $x$, необходимо разделить наименьшее общее кратное (НОК) чисел 1.5 и 1. Так как 1.5 и 1 не имеют общего делителя, и НОК чисел 1.5 и 1 равен 1.5, получим следующую формулу:

$$x=1.5$$

Таким образом, для того чтобы обе шестеренки вернулись в исходное положение, большая шестеренка должна совершить 1.5 оборота. Будьте внимательны, что физически большая шестеренка не может совершить пол оборота, поэтому необходимо сделать 2 полных оборота для возврата обеих шестеренок в исходное положение.