Сколько возможных вариантов раскраски существует для каждой клетки таблицы 3 × 3, если клетки, имеющие общую сторону

Для решения этой задачи воспользуемся методом пошагового рассуждения. Нам нужно определить количество возможных вариантов раскраски каждой клетки таблицы 3 × 3, с учетом того, что соседние клетки должны иметь разные цвета.

1. Рассмотрим первую клетку таблицы. Мы можем выбрать для нее любой из \(n\) доступных цветов (назовем этот цвет \(c_1\)). Таким образом, у нас есть \(n\) вариантов раскраски первой клетки.

2. Перейдем ко второй клетке. У нее уже есть сосед (первая клетка, которую мы уже раскрасили), поэтому она не может иметь тот же цвет \(c_1\). У нас остается \(n-1\) доступных цветов (назовем выбранный для нее цвет \(c_2\)).

3. Третья клетка имеет соседей (первую и вторую клетки), поэтому она не может иметь цвета, которые уже выбраны для соседних клеток \(c_1\) и \(c_2\). У нас остается \(n-2\) доступных цвета (назовем выбранный для нее цвет \(c_3\)).

4. Аналогичные рассуждения мы можем провести для остальных клеток таблицы. Каждая новая клетка будет иметь на один доступный цвет меньше, чем предыдущая.

5. Итак, общее количество возможных вариантов раскраски таблицы 3 × 3 равно произведению числа вариантов для каждой клетки. В нашем случае это будет:
\(n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot (n-2) = 246\).

Таким образом, чтобы получить количество возможных вариантов раскраски 3 × 3 таблицы, необходимо проделать эти пошаговые рассуждения и учесть, что каждая новая клетка имеет на один доступный цвет меньше, чем предыдущая, что приводит к общему количеству вариантов 246.