Сколько возможных шестизначных чисел с двумя цифрами 2, двумя цифрами

Для решения этой задачи нам нужно определить количество возможных шестизначных чисел с двумя цифрами 2, двумя цифрами 3 и двумя цифрами 4. Давайте решим ее пошагово и обоснуем каждый шаг.

Шаг 1: Определим количество способов выбрать места для цифры 2.
У нас есть две цифры 2, и нам нужно выбрать для них два из шести возможных мест в шестизначном числе. Для этого используем формулу сочетаний:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В нашем случае, \(n = 6\) (количество мест в шестизначном числе) и \(k = 2\) (количество цифр 2). Подставим значения в формулу:
\[\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\]

Таким образом, есть 15 способов выбрать места для цифры 2.

Шаг 2: Определим количество способов выбрать места для цифры 3.
У нас есть две цифры 3, и нам нужно выбрать для них два из оставшихся четырех мест в шестизначном числе. Используем формулу сочетаний:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В нашем случае, \(n = 4\) (количество оставшихся мест) и \(k = 2\) (количество цифр 3). Подставим значения в формулу:
\[\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\]

Таким образом, есть 6 способов выбрать места для цифры 3.

Шаг 3: Определим количество способов выбрать места для цифры 4.
У нас есть две цифры 4, и нам нужно выбрать для них два из оставшихся двух мест в шестизначном числе. Используем формулу сочетаний:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В нашем случае, \(n = 2\) (количество оставшихся мест) и \(k = 2\) (количество цифр 4). Подставим значения в формулу:
\[\binom{2}{2} = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2 \times 1}{2 \times 1} = 1\]

Таким образом, есть 1 способ выбрать места для цифры 4.

Шаг 4: Определим количество способов выбрать цифры для оставшихся пустых мест.
На оставшиеся два пустых места мы можем выбрать любые две цифры, которые не использовали ранее (2, 3, 4), то есть у нас есть три возможных цифры. Количество способов выбрать цифры для пустых мест можно определить как произведение количества возможных цифр для каждого места. В нашем случае, это:
\[\text{Количество способов выбрать цифры для пустых мест} = 3 \times 2 = 6\]

Шаг 5: Определим общее количество шестизначных чисел с двумя цифрами 2, двумя цифрами 3 и двумя цифрами 4.
Для этого умножим количество способов выбрать места и цифры для каждой цифры на каждом шаге:
\[\text{Общее количество чисел} = \text{Количество способов выбрать места для цифры 2} \times \text{Количество способов выбрать места для цифры 3} \times \text{Количество способов выбрать места для цифры 4} \times \text{Количество способов выбрать цифры для пустых мест}\]
\[\text{Общее количество чисел} = 15 \times 6 \times 1 \times 6 = 540\]

Итак, существует 540 возможных шестизначных чисел, удовлетворяющих условию задачи: две цифры 2, две цифры 3 и две цифры 4.