Сколько возможных программ для исполнителя Счётчик, в результате которых число на экране становится равным

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать комбинаторику и принципы подсчёта. Давайте разобьём решение на несколько шагов:

Шаг 1: Определение допустимых операций
У нас есть возможность использовать следующие операции с исполнителем Счётчик:
1. Прибавить 1
2. Прибавить 5
3. Умножить текущее число на 2

Шаг 2: Определение количества операций
Поскольку нам нужно вычислить число 200, начиная с числа 5, мы должны определить количество операций, необходимых для достижения этого значения. Для этого, вычтем 5 из 200:

200 - 5 = 195

Таким образом, нам нужно составить последовательность операций, результатом которых будет число 195.

Шаг 3: Формирование комбинаций операций
Однако важно учесть ограничения в задаче: траектория вычислений должна содержать число 35 и не должна содержать число 170.

Давайте разобьём процесс решения на два случая:

Случай 1: число 35 является одним из элементов в траектории вычислений
В этом случае, нам нужно рассмотреть две логические последовательности операций: первая до числа 35, а вторая после числа 35.

- Перед числом 35:
- Поскольку начальное число равно 5, мы имеем следующие варианты:
- \(5 \to 6\)
- \(5 \to 10\)
- После этого мы можем использовать любую комбинацию из трёх операций, чтобы достичь числа 35.

- После числа 35:
- После достижения числа 35, нам нужно опять применять операции до достижения числа 195.
- В этой части процесса нам нужно рассмотреть только две операции: добавить 1 и добавить 5.

Случай 2: число 35 вообще не участвует в траектории вычислений
В этом случае, нам также нужно рассмотреть две логические последовательности операций: первая до числа 170, а вторая после числа 170.

- Перед числом 170:
- По аналогии со случаем 1, нам нужно определить все возможные комбинации операций, чтобы достичь числа 170.

- После числа 170:
- После достижения числа 170, нам нужно продолжить операции до числа 195.

Шаг 4: Подсчёт количества комбинаций
Теперь мы должны просуммировать количество комбинаций операций из случаев 1 и 2:

- Для случая 1: количество комбинаций операций до числа 35, умноженное на количество комбинаций после числа 35.
- Для случая 2: количество комбинаций операций до числа 170, умноженное на количество комбинаций после числа 170.

Сначала рассмотрим количество комбинаций операций перед числом 35:

- Здесь у нас два варианта, как мы можем достичь числа 35: \(5 \to 6\) и \(5 \to 10\).
- После достижения числа 35, у нас есть три операции, которые мы можем использовать (прибавить 1, прибавить 5, умножить на 2).
- Таким образом, всего возможных комбинаций операций до числа 35 будет \(2 \cdot 3 = 6\) комбинаций.

Теперь рассмотрим количество комбинаций операций после числа 35:

- Поскольку после достижения числа 35 мы можем использовать только две операции (прибавить 1, прибавить 5), у нас будет две комбинации после числа 35.

Таким образом, всего возможных комбинаций операций для случая 1 будет \(6 \cdot 2 = 12\) комбинаций.

Теперь рассмотрим количество комбинаций операций перед числом 170:

- По аналогии с предыдущими вариантами, у нас есть несколько операций, которые мы можем использовать до достижения числа 170.
- После достижения числа 170, также остаются две операции (прибавить 1, прибавить 5).

После подсчёта всех этих комбинаций, мы можем получить общее количество возможных программ для исполнителя Счётчик, приводящих к числу 200 при условиях задачи.
В данном случае, общее количество комбинаций будет равно количеству комбинаций из случая 1 плюс количество комбинаций из случая 2:

\(12 + количество\_комбинаций\_операций\_перед\_числом\_170 \cdot количество\_комбинаций\_операций\_после\_числа\_170\).

Давайте вычислим количество комбинаций операций перед числом 170. Подумайте, какие операции можно использовать до достижения числа 170, и сколько их всего?