Сколько возможных комплектов из 4 желтых и 2 красных чашек различной формы можно создать из имеющихся 7 желтых

Чтобы определить количество возможных комплектов из 4 желтых и 2 красных чашек различной формы, созданных из имеющихся 7 желтых и 3 красных чашек, мы можем воспользоваться комбинаторикой.

В данной задаче используется понятие сочетания без повторений. Сочетание без повторений — это подмножество элементов, выбранных из исходного множества, где порядок элементов не имеет значения.

Поэтому, чтобы решить задачу, мы можем использовать формулу для сочетаний без повторений:
\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]
где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

В нашем случае \(n\) равно 10 (7 желтых + 3 красных чашки), а \(k\) равно 6 (4 желтые + 2 красные чашки).

Подставим значения в формулу:
\[C(10, 6) = \frac{{10!}}{{6! \cdot (10-6)!}}\]

Выполним несколько шагов по упрощению выражения:

\[
C(10, 6) = \frac{{10!}}{{6! \cdot 4!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{6! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}
\]

Сократим объединенные члены:
\[
C(10, 6) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{4!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 210
\]

Таким образом, из имеющихся 7 желтых и 3 красных чашек, можно создать 210 различных комплектов из 4 желтых и 2 красных чашек различной формы.