Сколько вариантов распределения пассажиров по свободным местам возможно, когда компания из 5 человек занимает автобус

Для решения этой задачи, нам нужно использовать комбинаторику и понять, сколько вариантов распределения 5 пассажиров по 7 свободным местам.

Для начала, давайте рассмотрим распределение пассажиров, когда каждый пассажир занимает по одному месту. В этом случае, первый пассажир может выбрать любое из 7 свободных мест. После того, как первый пассажир занял свое место, второй пассажир может выбрать любое из оставшихся 6 свободных мест и так далее. Таким образом, количество вариантов распределения пассажиров, когда каждый занимает по одному месту, равно:

\[7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520\]

Но в этой задаче, у пассажиров нет ограничений на количество занимаемых мест. Они могут занимать от одного до семи свободных мест.

Для определения количества вариантов распределения в этом случае, мы можем использовать метод генерации подмножества, чтобы понять, сколько вариантов возможностей у каждого пассажира.

У нас есть 7 свободных мест, и каждый пассажир может забрать от 0 до 7 мест. Для первого пассажира, это 8 возможностей: он может не занимать ни одно место, занимать только первое место, только второе место, и так далее, до занятия всех 7 мест. Для остальных пассажиров количество возможностей будет таким же: от 0 до 7.

Теперь нам нужно определить общее количество вариантов для всех пассажиров. Здесь нам пригодится правило умножения комбинаторики. Если у нас есть \(\text{n}_1\) вариантов для первого объекта, \(\text{n}_2\) вариантов для второго объекта, и так далее, до \(\text{n}_\text{k}\) вариантов для последнего объекта, общее количество вариантов будет равно \(\text{n}_1 \times \text{n}_2 \times \ldots \times \text{n}_\text{k}\).

Таким образом, общее количество вариантов распределения пассажиров будет равно:

\[(8 \text{ вариантов для первого пассажира}) \times (8 \text{ вариантов для второго пассажира}) \times \ldots \times (8 \text{ вариантов для пятого пассажира})\]

Применяя правило умножения, получим:

\[8^5 = 32768\]

Итак, существует 32768 возможных вариантов распределения пассажиров по свободным местам на автобусе.