Сколько вариантов можно составить нужный набор сварщиков, если: а) не имеет значения, будет ли в команде газосварщик

Для решения данной задачи посчитаем количество вариантов для каждого подпункта.

a) В данном случае нам не важно, будет ли в команде газосварщик или электросварщик. Поэтому для каждого рабочего места у нас есть два возможных варианта - газосварщик или электросварщик. У нас есть \(n\) рабочих мест, поэтому общее количество команд, которые можно составить, равно \(2^n\).

б) В данном случае у нас есть ограничение - Андрей не хочет работать с Мишей. Это значит, что Андрей и Миша не могут быть одновременно в команде. У нас также есть \(n\) рабочих мест.

Если Миша работает в команде, то мы можем выбрать его как газосварщика или электросварщика. Остается \(n-1\) рабочее место. Для каждого из \(n-1\) мест у нас есть два варианта выбора - газосварщик или электросварщик. Таким образом, общее количество команд, где Миша присутствует, равно \(2^{n-1}\).

Если Андрей работает в команде, то мы не можем выбрать Мишу. Здесь у нас также \(n-1\) рабочее место. Для каждого из \(n-1\) мест у нас также есть два возможных варианта - газосварщик или электросварщик. Таким образом, общее количество команд, где Андрей присутствует, равно также \(2^{n-1}\).

Но нам нужно учесть, что ситуация, когда одновременно работают и Андрей, и Миша, недопустима. Поэтому мы должны вычесть это количество из общего числа команд:

\[
2^n - 2^{n-1}
\]

Общее количество команд, которые можно составить с учетом данного ограничения, равно \(2^n - 2^{n-1}\).

Надеюсь, данное объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.