Сколько вариантов кодов из шести букв, составленных из букв п, е, т, я, может создать Петя, если он может использовать

Чтобы решить данную задачу, давайте разобъем ее на несколько шагов.

1. Найдем количество вариантов кодов, используя только согласные буквы "п", "т". Для этого у нас есть 2 согласные буквы и 6 позиций, куда мы можем их разместить. Поскольку буквы "п" и "т" не могут идти подряд, нам нужно чередовать их. Значит, можно представить это задачей о размещениях на ограничениях. То есть у нас есть 6 позиций, в которые мы можем вставить эти 2 буквы. Формула для размещения на ограничениях имеет вид:
\[
A = \binom{n + 1 - k}{k}
\]
где \(n\) - количество позиций, \(k\) - количество объектов. В нашем случае, \(n = 6\) и \(k = 2\), поэтому у нас получается:
\[
A = \binom{6 + 1 - 2}{2} = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10
\]

2. Теперь посчитаем количество вариантов кодов, используя только гласные буквы "е", "я". Снова у нас есть 2 гласные буквы и 6 позиций. Для того чтобы избежать размещения двух гласных подряд, мы должны опять чередовать их. Применив формулу размещения на ограничениях, получим:
\[
A = \binom{6 + 1 - 2}{2} = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10
\]

3. Теперь найдем количество вариантов кодов, используя и согласные, и гласные буквы. Для этого нам нужно выбрать позиции, на которых будут стоять согласные, и заполнить остальные позиции гласными. Поскольку у нас 6 позиций, мы можем выбрать любое количество позиций для согласных от 0 до 6. Если мы выберем \(k\) позиций для согласных, то на оставшиеся \(6 - k\) позиций мы разместим гласные. То есть нам нужно просуммировать все размещения на ограничениях с разным количеством позиций для согласных. Формула будет выглядеть следующим образом:
\[
S = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} \cdot A^{"} \cdot A^{""}
\]
где \(A^{"}\) - количество вариантов кодов, используя только гласные, а \(A^{""}\) - количество вариантов кодов, используя только согласные. Подставим значения:
\[
S = \binom{6}{0} \cdot 10 \cdot 10 + \binom{6}{1} \cdot 10 \cdot 10 + \binom{6}{2} \cdot 10 \cdot 10 + \binom{6}{3} \cdot 10 \cdot 10 + \binom{6}{4} \cdot 10 \cdot 10 + \binom{6}{5} \cdot 10 \cdot 10 + \binom{6}{6} \cdot 10 \cdot 10 = 10 + 60 + 150 + 200 + 150 + 60 + 10 = 640
\]

Таким образом, Петя может создать 640 разных кодов из шести букв "п", "е", "т", "я", не размещая две гласные или две согласные подряд.