Сколько вариантов кодов из пяти букв можно составить Тимофею, используя буквы Т, И, М, О, Ф, Е, Й? Буква Т должна быть

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать комбинаторику. Давайте разберемся пошагово.

Первым шагом нужно учесть, что буква "Т" должна быть включена в код хотя бы один раз. Это значит, что мы можем разбить задачу на два случая:

1. Случай, когда буква "Т" входит всего один раз в код.
2. Случай, когда буква "Т" входит более одного раза в код.

Сначала рассмотрим первый случай, когда буква "Т" входит один раз в код. В этом случае нам нужно выбрать еще 4 буквы из оставшихся 6 - И, М, О, Ф, Е, Й. Это можно сделать с помощью сочетаний без повторений. Формула для сочетаний без повторений выглядит следующим образом:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

где \(n\) - общее количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы хотим выбрать.

В нашем случае, \(n = 6\) (6 доступных букв) и \(k = 4\) (мы хотим выбрать 4 буквы). Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[
C(6, 4) = \frac{{6!}}{{4!(6-4)!}} = \frac{{6!}}{{4! \cdot 2!}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4!}}{{4! \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{6 \cdot 5}}{{2}} = 15
\]

Таким образом, в первом случае есть 15 возможных вариантов кодов из пяти букв, включающих букву "Т" ровно один раз.

Теперь рассмотрим второй случай, когда буква "Т" входит более одного раза в код. В данном случае у нас есть две подзадачи:

1. Найти количество вариантов кодов, где буква "Т" входит два раза, а буква "Й" входит один раз. Таких кодов будет ровно один, так как их можно составить только буквами "ТТИИЙ".

2. Найти количество вариантов кодов, где буква "Т" входит три раза, а буква "Й" входит один раз. Таких кодов также будет ровно один - "ТТТИЙ".

В итоге, во втором случае у нас есть два возможных варианта кодов.

Суммируя результаты из первого и второго случая, получаем общее количество вариантов кодов из пяти букв, удовлетворяющих условиям задачи:

\[
15 + 2 = 17
\]

Таким образом, Тимофею доступно 17 различных вариантов кодов.