Сколько уникальных векторов определяют стороны: а) куба, б) треугольной призмы, в) правильной четырехугольной пирамиды?

Конечно! Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди.

а) Куб:

У куба есть 12 ребер, и каждое ребро может быть представлено вектором. Для определения количества уникальных векторов, нам необходимо учесть, что параллельные векторы считаются одинаковыми. Рассмотрим основные типы векторов, которые можно получить:

1. Вектора, соединяющие каждую пару соседних вершин: у куба 8 вершин, и у каждой вершины соединено 3 ребра. Значит, общее количество векторов, соединяющих вершины, равно \( 8 \cdot 3 = 24 \). Однако, так как параллельные векторы считаются одинаковыми, мы должны поделить это число на 2, получаем \( \frac{24}{2} = 12 \) уникальных векторов.

2. Вектора, соединяющие каждую пару диагонально противоположных вершин: таких пар вершин у куба 4. Значит, общее количество векторов, соединяющих эти вершины, равно \( 4 \cdot 3 = 12 \). Поделив это число на 2, получаем \( \frac{12}{2} = 6 \) уникальных векторов.

Итак, для куба общее количество уникальных векторов, определяющих его стороны, равно \( 12 + 6 = 18 \).

б) Треугольная призма:

У треугольной призмы также есть 12 ребер. Рассмотрим основные типы векторов:

1. Вектора, соединяющие вершины основания треугольника: у треугольника 3 вершины, и у каждой вершины соединено 2 ребра. Значит, общее количество векторов, соединяющих вершины основания, равно \( 3 \cdot 2 = 6 \).

2. Вектора, соединяющие вершины основания с вершинами на противоположной грани: таких пар вершин также 3. Значит, общее количество векторов, соединяющих эти вершины, равно \( 3 \cdot 2 = 6 \).

3. Вектора, соединяющие вершины на противоположных гранях: таких пар вершин у призмы также 3. Общее количество векторов, соединяющих эти вершины, равно \( 3 \cdot 2 = 6 \).

Таким образом, всего у треугольной призмы \( 6 + 6 + 6 = 18 \) уникальных векторов.

в) Правильная четырехугольная пирамида:

У пирамиды есть 8 ребер. Поскольку она правильная, у нее есть две равные вращательные симметрии. Рассмотрим основные типы векторов:

1. Вектора, соединяющие вершины основания: у основания пирамиды 4 вершины, и у каждой вершины соединено 2 ребра. Значит, общее количество векторов, соединяющих вершины основания, равно \( 4 \cdot 2 = 8 \). Однако, учитывая симметрию, мы должны поделить это число на 2, получаем \( \frac{8}{2} = 4 \) уникальных вектора.

2. Вектора, соединяющие вершину на основании с вершиной на верхушке пирамиды: у пирамиды 4 такие пары вершин. Общее количество векторов, соединяющих эти вершины, равно \( 4 \cdot 2 = 8 \). Поделив это число на 2, получаем \( \frac{8}{2} = 4 \) уникальных вектора.

Итак, для правильной четырехугольной пирамиды общее количество уникальных векторов, определяющих ее стороны, равно \( 4 + 4 = 8 \).

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут школьнику лучше понять, сколько уникальных векторов определено для каждой фигуры. Если у вас возникнут еще вопросы, я с радостью на них ответлю!