Сколько уникальных результатов можно получить, если Петя расставит 12 арифметических знаков (плюсы и минусы) между

Данный вопрос требует от нас подсчета количества уникальных результатов, которые могут быть получены, если Петя будет расставлять 12 арифметических знаков (плюсы и минусы) между числами 2021, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12. Для решения этой задачи, нам необходимо использовать комбинаторику.

Пойдем пошагово.
В первую очередь, посчитаем количество возможных размещений арифметических знаков. У нас есть два варианта - либо ставим плюс, либо ставим минус. Таким образом, каждый из арифметических знаков может принять одно из двух возможных значений. Так как у нас 12 арифметических знаков, то всего возможных комбинаций будет 2 в степени 12.

\[2^{12} = 4096\]

Таким образом, есть 4096 различных способов размещения арифметических знаков.

Теперь перейдем к рассмотрению размещения чисел и арифметических знаков во всех возможных комбинациях.

Мы можем вычислить значение каждого из выражений, возникающих при разных комбинациях. Но для простоты будем рассматривать только количество уникальных результатов.

Для начала, заметим, что если разместить все арифметические знаки между числами, то обязательно получится выражение вида 2021 +- 1 +- 2 +- 3 +- 4 +- 5 +- 6 +- 7 +- 8 +- 9 +- 10 +- 11 +- 12.

При таком расположении знаков, после каждого знака "+" будет стоять число, а после каждого знака "-" будет стоять число с противоположным знаком, то есть надо научиться отойти от нуля поэтапно, каждый раз прибавляя к результату следующее число.

Давайте рассмотрим пример, чтобы стало яснее:

\[2021 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12\]

Шаг 1: 2021. Результат: 2021.
Шаг 2: 2021 + 1 = 2022. Результат: 2022.
Шаг 3: 2022 + 2 = 2024. Результат: 2024.
Шаг 4: 2024 + 3 = 2027. Результат: 2027.
Шаг 5: 2027 + 4 = 2031. Результат: 2031.
Шаг 6: 2031 + 5 = 2036. Результат: 2036.
Шаг 7: 2036 + 6 = 2042. Результат: 2042.
Шаг 8: 2042 + 7 = 2049. Результат: 2049.
Шаг 9: 2049 + 8 = 2057. Результат: 2057.
Шаг 10: 2057 + 9 = 2066. Результат: 2066.
Шаг 11: 2066 + 10 = 2076. Результат: 2076.
Шаг 12: 2076 + 11 = 2087. Результат: 2087.
Шаг 13: 2087 + 12 = 2099. Результат: 2099.

Как видите, мы получили результат 2099 для данного примера. Теперь представим, что знаков "+" и "-" стоят в другом порядке. При таком расположении изменится только знаки перед каждым числом, но сами числа останутся теми же самыми. То есть результат для второго случая будет отличаться от первого только знаком: \(-2099\).

Таким образом, если мы достигли результатов 2099 и \(-2099\) при данной комбинации чисел, то независимо от расстановки арифметических знаков, мы всегда получим один и тот же результат.

Теперь вернемся к вычислению общего количества уникальных результатов. Заметим, что для любого числа n, мы можем получить n и \(-n\) при различной комбинации знаков. Таким образом, количество уникальных результатов будет равно половине от общего количества комбинаций знаков.

\[\frac{2^{12}}{2} = \frac{4096}{2} = 2048\]

Итак, у нас имеется 2048 уникальных результатов, которые можно получить при размещении арифметических знаков между заданными числами.

Очень важно отметить, что для достижения точных результатов, необходимо применить арифметические операции в правильной последовательности, чтобы избежать ошибок.