Сколько участников было в турнире, если каждый сыграл по две партии со всеми остальными участниками, и всего было

Давайте решим эту задачу пошагово.

Предположим, что в турнире было \(n\) участников. Мы знаем, что каждый участник сыграл по две партии со всеми остальными участниками.

Теперь посмотрим, сколько всего партий было сыграно. Каждый участник сыграл по две партии с каждым из остальных \(n-1\) участников, поэтому общее количество партий можно выразить как произведение количества участников на количество партий, которые каждый участник сыграл с другими участниками.

Мы знаем, что всего было сыграно 462 партии. Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[n \cdot 2 \cdot (n-1) = 462\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[2n^2 - 2n = 462\]

Приравняем это уравнение к нулю:

\[2n^2 - 2n - 462 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 2\), \(b = -2\) и \(c = -462\).

Посчитаем значение дискриминанта:

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-462) = 4 + 3696 = 3700\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два вещественных корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения и вычислим корни:

\[n = \frac{-(-2) \pm \sqrt{3700}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm \sqrt{3700}}{4}\]

Теперь вычислим значения:

\[n_1 = \frac{2 + \sqrt{3700}}{4} \approx 11.83\]

\[n_2 = \frac{2 - \sqrt{3700}}{4} \approx -9.83\]

Поскольку количество участников не может быть отрицательным, мы можем отбросить второй корень. Получаем, что число участников \(n_1\) равно примерно 11.83.

Однако, по условию задачи, мы должны найти целое число участников. Исходя из этого, ближайшее целое число к 11.83 будет 12.

Таким образом, в турнире участвовало 12 участников.