1) Наугад выбирают три цифры из набора 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Какова вероятность, что: а) выбранная последовательность

Хорошо! Рассмотрим каждую задачу поочередно:

1) Наугад выбирают три цифры из набора 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Какова вероятность, что:
а) выбранная последовательность будет содержать цифру 9?

Для решения этой задачи, нам необходимо определить сколько всего возможных комбинаций из трех цифр можно получить из данного набора, а затем определить сколько из этих комбинаций содержат цифру 9.

В данной задаче, у нас 10 цифр, из которых мы выбираем 3. Количество комбинаций из 10 по 3 можно вычислить с помощью формулы сочетаний. Для этого применим следующую формулу:

\({{n}\choose{k}} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\)

Где \(n\) - общее количество элементов (в данном случае 10 цифр), \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем (в данном случае 3 цифры), и \(!\) обозначает факториал.

Применяя эту формулу, получаем:

\({{10}\choose{3}} = \frac{{10!}}{{3! \cdot (10-3)!}} = \frac{{10!}}{{3! \cdot 7!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 120\)

Таким образом, всего есть 120 возможных комбинаций из трех цифр.

Теперь посмотрим, сколько из этих комбинаций содержат цифру 9. Мы должны выбрать две другие цифры из оставшихся девяти (без 9):

\({{9}\choose{2}} = \frac{{9!}}{{2! \cdot (9-2)!}} = \frac{{9!}}{{2! \cdot 7!}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7!}}{{2 \cdot 1 \cdot 7!}} = \frac{{9 \cdot 8}}{{2 \cdot 1}} = 36\)

Таким образом, из 120 возможных комбинаций, 36 комбинаций содержат цифру 9.

Чтобы определить вероятность, мы делим количество благоприятных исходов на общее количество исходов:

Вероятность выбрать комбинацию из трех цифр, содержащих цифру 9:

\(P = \frac{{\text{{количество комбинаций с цифрой 9}}}}{{\text{{общее количество комбинаций}}}} = \frac{{36}}{{120}} = \frac{{3}}{{10}} = 0.3\) (или 30%)

Таким образом, вероятность выбрать комбинацию из трех цифр, содержащих цифру 9, равна 0.3 или 30%.

2) Имеется 1000 лотерейных билетов, из которых 100 являются выигрышными. Какова вероятность, что из пяти купленных билетов хотя бы один окажется выигрышным?

Для решения этой задачи, мы можем использовать дополнение вероятности. Мы сначала найдем вероятность того, что ни один из пяти купленных билетов не окажется выигрышным, а затем вычтем это значение из 1 (единицы), чтобы получить искомую вероятность.

В данном случае, у нас 1000 билетов, из которых 100 выигрышных. Значит, у нас также есть 900 не выигрышных билетов.

Вероятность того, что первый билет не будет выигрышным, равна:

\(P(\text{{первый билет не выигрышный}}) = \frac{{900}}{{1000}} = 0.9\) (или 90%)

Так как билеты независимы, вероятность того, что все пять билетов не будут выигрышными, равна произведению вероятностей каждого отдельного события:

\(P(\text{{все пять билетов не выигрышные}}) = 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.9\)

\(P(\text{{все пять билетов не выигрышные}}) \approx 0.59\) (или 59%)

Теперь используем дополнение вероятности:

\(P(\text{{хотя бы один выигрышный билет}}) = 1 - P(\text{{все пять билетов не выигрышные}})\)

\(P(\text{{хотя бы один выигрышный билет}}) = 1 - 0.59 = 0.41\) (или 41%)

Таким образом, вероятность того, что из пяти купленных билетов хотя бы один окажется выигрышным, равна 0.41 или 41%.

Вот, я подробно объяснил каждую задачу, поэтому надеюсь, что ответы были понятны и полезны для Вас! Если у Вас есть дополнительные вопросы, буду рад на них ответить.