Сколько треугольников можно образовать с использованием вершин данного выпуклого 10-угольника?

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знать, каким образом можно образовать треугольники с использованием вершин выпуклого 10-угольника.

Для начала, нужно заметить, что каждый треугольник определяется выбором трех вершин из 10 имеющихся. Если бы вершины были неколлинеарными (не лежали на одной прямой), то количество треугольников можно было бы найти по формуле сочетаний из 10 по 3 (поскольку нам нужно выбрать 3 вершины из 10). Но в данной задаче вершины составляют выпуклый 10-угольник, поэтому некоторые из треугольников могут быть вырожденными, т.е. иметь нулевую площадь.

Итак, приступим к решению. Возможны следующие варианты:

1. Выбираем три соседние вершины. При этом треугольник будет представлять собой одну из сторон 10-угольника. Таких треугольников будет ровно 10 штук, поскольку можно выбрать любую из 10 вершин для начала отсчета.

2. Выбираем вершину, соединенную с одной из вершин, через одну вершину. Таких треугольников будет 10 штук, так как для каждой вершины можно выбрать одну из двух смежных вершин.

3. Выбираем вершину, соединенную с одной из вершин, через две вершины. Таких треугольников тоже будет 10 штук, поскольку для каждой вершины можно выбрать одну из двух вершин, лежащих через одну вершину.

4. Выбираем вершину, соединенную с одной из вершин, через три вершины. Таких треугольников также будет 10 штук, поскольку для каждой вершины можно выбрать одну из двух вершин, лежащих через две вершины.

5. Выбираем вершину, соединенную с одной из вершин, через четыре выделенные вершины. Таких треугольников будет ровно 10 штук, так как для каждой вершины можно выбрать одну из двух вершин, лежащих через две вершины.

Таким образом, общее количество треугольников, которые можно образовать с использованием вершин данного выпуклого 10-угольника, равно сумме всех вышеуказанных вариантов:
\[10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50\].

Таким образом, с использованием вершин данного выпуклого 10-угольника можно образовать 50 различных треугольников.