Сколько точек пересечения имеют 18 прямых, из которых ровно 3 параллельны друг другу, и ни одна из них не проходит

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для определения количества точек пересечения прямых. Формула состоит из двух частей: одна для определения количества точек пересечения между парами прямых, и вторая - для определения общего числа точек пересечения.

Итак, у нас есть 18 прямых, и из них ровно 3 параллельны друг другу. Поскольку параллельные прямые никогда не пересекаются, для параллельных прямых необходимо исключить возможность взаимного пересечения. Таким образом, у нас остаются \(18 - 3 = 15\) непараллельных прямых.

Теперь давайте рассмотрим количество точек пересечения для всех возможных пар непараллельных прямых. Из \(n\) прямых имеется \(\binom{n}{2}\) попарных комбинаций. В нашем случае, где имеется 15 непараллельных прямых, у нас будет \(\binom{15}{2}\) попарных комбинаций.

Попутно, давайте рассчитаем количество точек пересечения для 3 параллельных прямых между собой. Поскольку они параллельны, они не пересекаются между собой, поэтому количество точек пересечения для них равно 0.

Теперь мы можем сложить количество точек пересечения для всех возможных пар непараллельных прямых и количество точек пересечения для параллельных прямых:

\(\binom{15}{2} + 0\).

Чтобы вычислить это значение, нам понадобится использовать формулу для биномиальных коэффициентов. Биномиальный коэффициент \(\binom{n}{k}\) может быть вычислен с помощью формулы:

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Здесь символ "!" обозначает факториал числа. Факториал числа \(n\) представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\). Например, \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\).

Применяя формулу для \(\binom{15}{2}\), мы получим:

\(\binom{15}{2} = \frac{15!}{2!(15-2)!}\).

Упрощая это выражение, мы получим:

\(\binom{15}{2} = \frac{15!}{2! \cdot 13!}\).

Теперь мы можем рассчитать факториалы чисел 15, 2 и 13:

\(15! = 15 \cdot 14 \cdot 13! = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\),

\(2! = 2 \cdot 1\),

\(13! = 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\).

Теперь мы можем подставить эти значения в нашу формулу и рассчитать:

\(\binom{15}{2} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\).

Множители в числителе и знаменателе сокращаются, и мы получаем:

\(\binom{15}{2} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 15 \cdot 7 = 105\).

Итак, количество точек пересечения для всех возможных пар непараллельных прямых равно 105.