Сколько точек на координатной плоскости имеют координаты x и y и удовлетворяют условию x² + y⁴ = √ (18x - 81x²

Данная задача требует найти количество точек на координатной плоскости, чьи координаты \(x\) и \(y\) удовлетворяют уравнению \(x^2 + y^4 = \sqrt{18x - 81x^2 - 1}\) и являются целыми числами.

Для начала, давайте проанализируем данное уравнение более подробно. Мы видим, что уравнение содержит различные степени переменных \(x\) и \(y\), а также квадратный корень. Чтобы решить данное уравнение, нам нужно найти целочисленные решения, то есть такие значения \(x\) и \(y\), для которых обе части уравнения принимают целочисленные значения.

Начнем с рассмотрения выражения под квадратным корнем \(\sqrt{18x - 81x^2 - 1}\). Чтобы это выражение было целым числом, его аргумент, то есть значение \(18x - 81x^2 - 1\), должно быть квадратом некоторого целого числа. Давайте обозначим \(18x - 81x^2 - 1\) как \(k^2\), где \(k\) - целое число.

Теперь решим получившееся квадратное уравнение \(18x - 81x^2 - 1 = k^2\) относительно \(x\). Для этого перепишем его в виде \(81x^2 - 18x + (k^2 + 1) = 0\) и применим формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) для нахождения решений.

В данном случае \(a = 81\), \(b = -18\) и \(c = k^2 + 1\). Вычислим значение дискриминанта:
\[D = (-18)^2 - 4 \cdot 81 \cdot (k^2 + 1) = 324 - 4 \cdot 81 \cdot (k^2 + 1) = 324 - 324(k^2 + 1) = 324(1 - k^2) - 324\]

Теперь нам нужно найти такие значения \(k\), при которых дискриминант \(D\) будет положительным целым числом. Обратите внимание, что дискриминант должен быть положительным, чтобы квадратное уравнение имело два различных вещественных корня, иначе у нас не будет целочисленных решений.

Находим значение корня \(D\):
\(\sqrt{D} = \sqrt{324(1 - k^2) - 324} = 18\sqrt{1 - k^2} \)

Чтобы корень был целым числом, выражение \(1 - k^2\) должно быть полным квадратом некоторого целого числа. Пусть \(1 - k^2 = m^2\), где \(m\) - целое число.

Решим получившееся квадратное уравнение \(k^2 + m^2 = 1\) относительно \(k\). Мы знаем, что решения этого уравнения являются целочисленными, поскольку они связаны с координатами на координатной плоскости. Найдем решения этого уравнения:

1) При \(m = 0\) получаем \(k = \pm 1\).
2) При \(m = \pm 1\) у нас нет целочисленных решений для \(k\), так как в этом случае \(k^2 + m^2 = 2\).

Таким образом, полученные значения \(k = \pm 1\) являются единственными целочисленными решениями для квадратного уравнения \(k^2 + m^2 = 1\).

Возвращаясь к исходному уравнению \(x^2 + y^4 = \sqrt{18x - 81x^2 - 1}\), подставляем найденные значения \(k = \pm 1\) в уравнение \(18x - 81x^2 - 1 = k^2\) и решаем его для \(x\):

1) При \(k = 1\):
\[18x - 81x^2 - 1 = 1 \Rightarrow 81x^2 - 18x - 2 = 0 \]

Применяем формулу дискриминанта:
\[D = (-18)^2 - 4 \cdot 81 \cdot (-2) = 1296 > 0 \]

Следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня. Решим его:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{1296}}{162} = \frac{18 \pm 36}{162} \]

\[x_1 = \frac{18 + 36}{162} = \frac{54}{162} = \frac{1}{3} \]
\[x_2 = \frac{18 - 36}{162} = \frac{-18}{162} = -\frac{1}{9} \]

Таким образом, при \(k = 1\) получаем два решения для \(x\): \(x_1 = \frac{1}{3}\) и \(x_2 = -\frac{1}{9}\).

2) При \(k = -1\):
\[18x - 81x^2 - 1 = (-1)^2 \Rightarrow 81x^2 - 18x - 2 = 0 \]

Применяем формулу дискриминанта:
\[D = (-18)^2 - 4 \cdot 81 \cdot (-2) = 1296 > 0 \]

Следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня. Решим его:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{1296}}{162} = \frac{18 \pm 36}{162} \]

\[x_1 = \frac{18 + 36}{162} = \frac{54}{162} = \frac{1}{3} \]
\[x_2 = \frac{18 - 36}{162} = \frac{-18}{162} = -\frac{1}{9} \]

Таким образом, при \(k = -1\) получаем также два решения для \(x\): \(x_1 = \frac{1}{3}\) и \(x_2 = -\frac{1}{9}\).

Итак, у нас есть четыре значения \(x\), которые удовлетворяют исходному уравнению: \(x_1 = \frac{1}{3}\), \(x_2 = -\frac{1}{9}\), \(x_3 = \frac{1}{3}\) и \(x_4 = -\frac{1}{9}\).

Теперь, чтобы найти соответствующие значения \(y\), подставим решения \(x\) в уравнение \(x^2 + y^4 = \sqrt{18x - 81x^2 - 1}\) и решим его относительно \(y\) для каждого из найденных решений \(x\):

1) При \(x = \frac{1}{3}\):
\[\left(\frac{1}{3}\right)^2 + y^4 = \sqrt{18 \cdot \frac{1}{3} - 81 \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 1} \Rightarrow \frac{1}{9} + y^4 = \sqrt{6 - \frac{9}{3} - 1} = \sqrt{6 - 3 - 1} = \sqrt{2} \]
\[y^4 = \sqrt{2} - \frac{1}{9} \Rightarrow y = \sqrt[4]{\sqrt{2} - \frac{1}{9}}\]

2) При \(x = -\frac{1}{9}\):
\[\left(-\frac{1}{9}\right)^2 + y^4 = \sqrt{18 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) - 81 \left(-\frac{1}{9}\right)^2 - 1} \Rightarrow \frac{1}{81} + y^4 = \sqrt{-2 + \frac{1}{3} - 1} = \sqrt{-2 - \frac{2}{3}} = \sqrt{-\frac{8}{3}} \]

Заметим, что в данной ситуации у нас есть комплексный корень. Однако, по условию задачи исследуемые \(x\) и \(y\) являются целыми числами, поэтому данное решение не будет учитываться.

Таким образом, мы нашли две пары решений: \(\left(\frac{1}{3}, \sqrt[4]{\sqrt{2} - \frac{1}{9}}\right)\) и \(\left(-\frac{1}{9}, \sqrt[4]{\sqrt{-\frac{8}{3}}}\right)\), где \(y\) вычислены лишь численно.

Ответ: Исходное уравнение \(x^2 + y^4 = \sqrt{18x - 81x^2 - 1}\) имеет две пары точек на координатной плоскости, координаты которых являются целыми числами и удовлетворяют данному уравнению: \(\left(\frac{1}{3}, \sqrt[4]{\sqrt{2} - \frac{1}{9}}\right)\) и \(\left(-\frac{1}{9}, \sqrt[4]{\sqrt{-\frac{8}{3}}}\right)\).