Сколько существует выпуклых четырехугольников с вершинами, которые соединены отмеченными точками 7-угольника?

Чтобы решить эту задачу, нужно разобраться, как строить выпуклые четырехугольники с вершинами, соединенными отмеченными точками 7-угольника.

Пусть наш 7-угольник имеет вершины A, B, C, D, E, F и G, причем они соединены отмеченными точками, как показано на рисунке:

\[
\begin{array}{ccccccc}
& A & & B & & C & \\
G & & & & & & D \\
& F & & E & &
\end{array}
\]

Теперь давайте рассмотрим возможные варианты построения четырехугольников.

1. Выбираем вершину A. Она может быть соединена с любой из остальных шести вершин буквами B, C, D, E, F или G.

2. Выбираем еще одну вершину. Пусть это будет вершина B. Теперь мы имеем две отмеченные вершины A и B. Остается соединить их с двумя другими вершинами, которые могут быть C, D, E, F или G.

3. Выбираем третью вершину. Пусть это будет вершина C. У нас уже есть три отмеченные вершины A, B и C. Теперь остается соединить их последней вершиной из двух возможных - D или E.

4. Выбираем последнюю вершину. Есть две возможности - D или E.

Итак, существует \((6 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2) = 120\) способов соединить отмеченные точки 7-угольника, чтобы получить выпуклый четырехугольник.

Основание такого рассуждения состоит в том, что мы производим все возможные комбинации вершин, чтобы получить каждый из 120 возможных четырехугольников.

Надеюсь, это помогло вам понять, как решить данную задачу. Если у вас еще остались вопросы, пожалуйста, задавайте!